Strømmen i JFET-en

Kanalen som en motstand

En n-kanal-JFET med spenningene $V_D$ og $V_G$ fører strømmen $I_D(V_D, V_G)$. Strømmen er satt av hvor høy den ledende delen av kanalen er, og høyden endrer seg langs kanalen. Kanalen er derfor ikke en stav med fast tverrsnitt, og ${R = L/\sigma wt}$ kan ikke brukes på hele kanalen. Del den i stedet i tynne skiver med tykkelsen $dx$. Innenfor én skive er tverrsnittet fast.

Skiven i punktet $x$ har bredden $Z$ langs gatene, på tvers av strømmen. Den leder i halvhøyden $h(x)$ på hver side av midtlinjen, altså i høyden $2h(x)$. Den ledende delen er nøytral n-type med ledningsevnen ${\sigma = q\mu_nN_d}$, og sonene leder nesten ikke. Motstanden i skiven er da

Gjennom gateovergangene i sperreretning går nesten ingen strøm, så hele $I_D$ går gjennom hver skive, og spenningen over skiven er ${dV_x = I_D\,dR}$. Sett inn $dR$, og gang med nevneren:

For å løse ligningen trengs halvhøyden $h(x)$ uttrykt ved spenningen $V_x$.

Tilnærmingen med gradvis kanal

Halvhøyden er satt av romladningssonen i punktet $x$, og sonen følger av Poissons ligning. Bredden $Z$ er mange ganger $a$, så potensialet endrer seg nesten ikke langs $z$. Med $x$ langs kanalen og $y$ på tvers av den er ligningen da todimensjonal:

Potensialet endrer seg med noen volt, $\Delta\mathcal{V}$, både over halvhøyden $a$ på tvers og over lengden $L$ langs. Leddene er derfor av størrelse $\Delta\mathcal{V}/a^2$ og $\Delta\mathcal{V}/L^2$. Typisk er $a$ omtrent 1 µm og $L$ omtrent 10 µm. Med ${L \approx 10a}$ er leddet på tvers omtrent 100 ganger større enn leddet langs, og

i hvert punkt $x$. Den endimensjonale ligningen er den samme som for en plan pn-overgang, så sonen i punktet $x$ er like bred som i en plan p⁺n-overgang med spenningen der. Å bruke resultatene for den plane overgangen i hver skive kalles tilnærmingen med gradvis kanal. Den gjelder når kanalen er mye lengre enn den er høy, slik at halvhøyden endrer seg langsomt langs kanalen.

Sonebredden i punktet $x$ er da

Sonen fyller hele halvhøyden, ${W = a}$, når barrieren ${V_0 + V_x - V_G}$ over overgangen er lik avklemmingsspenningen ${V_p = qN_da^2/2\varepsilon}$. Del $W^2$ på $a^2$. Da er ${W/a = [(V_0 + V_x - V_G)/V_p]^{1/2}}$, og den ledende halvhøyden er

$V_p$ er bare satt av hvordan kanalen er laget. Kontaktpotensialet $V_0$ er ikke tatt med i $V_p$, men $V_0$ står i telleren og regnes med.

Strømmen før avklemming

Sett $h(x)$ inn i ligningen for skiven, ${2\sigma Z\,h(x)\,dV_x = I_D\,dx}$:

Venstresiden avhenger bare av $V_x$ og høyresiden bare av $x$, så hver side kan integreres for seg. Integrer fra source, der ${x = 0}$ og ${V_x = 0}$, til drain, der ${x = L}$ og ${V_x = V_D}$. Høyresiden gir $I_DL$, siden $I_D$ er den samme i hver skive. På venstresiden gir kvadratroten potensen $3/2$:

Sett inn grensene, og del på $L$. Med ${G_0 = (Z/L)\,2a\sigma}$ er

der

er konduktansen til kanalen uten romladningssoner, ledningsevnen ganger tverrsnittet $2aZ$ delt på lengden $L$.

Deriver $I_D$ med hensyn på $V_D$ for å se hvordan kurven stiger. Det siste leddet avhenger ikke av $V_D$:

Stigningen er konduktansen satt av halvhøyden ved drain. Ved liten $V_D$ er halvhøyden nesten den samme hele veien, ${h = a[1 - ((V_0 - V_G)/V_p)^{1/2}]}$, og kanalen er en motstand med konduktansen $G_0h/a$. Mer negativ $V_G$ gir lavere $h$ og mindre stigning. Når $V_D$ øker, blir kanalen smalere ved drain, og stigningen faller. Den er null når ${V_0 + V_D - V_G = V_p}$, altså ved ${V_D(\text{sat.}) = V_G + V_p - V_0}$, der kanalen klemmes av ved drain.

Formelen har altså toppen sin nettopp ved avklemming. For større $V_D$ gir den en strøm som avtar, men da er $h(L)$ i formelen negativ, og en negativ halvhøyde har ingen mening. Formelen gjelder bare til avklemming.

Strømmen i metning og transkonduktansen

Over $V_D(\text{sat.})$ faller resten av spenningen over den avklemte delen, og den åpne kanalen fører den samme strømmen som ved avklemming. Strømmen regnes derfor som konstant, lik verdien ved avklemming. Sett ${V_D = V_G + V_p - V_0}$ inn i formelen for $I_D$. Da er ${V_0 + V_D - V_G = V_p}$, så det midterste leddet blir $-\tfrac23$, og det første leddet blir ${V_D/V_p = 1 - (V_0 - V_G)/V_p}$:

Strømmen i metning avhenger bare av $V_G$. Ved ${V_G = V_0 - V_p}$ er brøken 1, og hakeparentesen er ${\tfrac13 - 1 + \tfrac23 = 0}$. Kanalen er da stengt i hele lengden, og det går ingen strøm. Strømmen er størst ved ${V_G = 0}$, og er $V_0$ liten mot $V_p$, er den nær $G_0V_p/3$. Formelen gjelder for ${V_0 - V_p \le V_G \le 0}$. Med en mer negativ gate er det ingen åpen kanal, og med en positiv gate ligger gateovergangen i lederetningen.

Transkonduktansen i metning er endringen i $I_D(\text{sat.})$ per volt på gaten, og den gir forsterkningen ${v_d = -g_mR_Lv_g}$. Deriver hakeparentesen ledd for ledd med hensyn på $V_G$. Det midterste leddet gir $1/V_p$, og det siste gir $-(1/V_p)((V_0 - V_G)/V_p)^{1/2}$:

Uttrykket er det samme som stigningen ved liten $V_D$ for den samme gatespenningen, konduktansen $G_0h(0)/a$ satt av halvhøyden ved source. Du kan altså lese $g_m(\text{sat.})$ av stigningen til kurven nær origo. Transkonduktansen er størst ved ${V_G = 0}$ og blir aldri større enn $G_0$. Den faller til null der kanalen stenges.

Målt strøm i metning følger nesten den enkleste kurven med de samme egenskapene: strømmen $I_{DSS}$ i metning ved ${V_G = 0}$ og både strøm og stigning lik null der kanalen stenges, slik $g_m(\text{sat.})$ er null der. Den kurven er en parabel med bunnen ved ${V_G = V_0 - V_p}$:

Parabelen trenger bare de to målte tallene $I_{DSS}$ og gatespenningen som stenger kanalen. Et datablad for en JFET oppgir dem som $I_{DSS}$ og $V_{GS(\text{off})}$. Transkonduktansen ved ${V_G = 0}$ står der som $|Y_{fs}|$.

Konstant strøm over $V_D(\text{sat.})$ forutsetter at den avklemte delen er kort mot $L$. Avklemmingspunktet flytter seg litt inn fra drain når $V_D$ øker, så den åpne kanalen blir kortere. $G_0$ er proporsjonal med $1/L$, så strømmen øker litt, og i en kort kanal er økningen merkbar. $G_0$ forutsetter også at mobiliteten er konstant. Feltet langs kanalen er omtrent $V_D/L$, og i en kort kanal kan feltet komme over ${10^3\ \text{V/cm}}$. Der bøyer drifthastigheten av mot metningshastigheten, og strømmen blir mindre enn formelen gir.

Lav avklemmingsspenning og stor transkonduktans

En JFET som skal styres med små gatespenninger, trenger lav $V_p$, og en god forsterker trenger stor $g_m(\text{sat.})$. De to er satt av de samme størrelsene på ulike måter:

$V_p$ er satt av $a^2N_d$ alene. $G_0$ har også faktoren $Z/L$ og mobiliteten, og ingen av dem endrer $V_p$. Velg derfor $a$ og $N_d$ slik at $V_p$ blir lav nok, og gjør deretter $Z$ stor og $L$ liten, altså $Z/L$ stor, til $G_0$ er stor nok.

En lav $V_p$ koster likevel transkonduktans. Ved ${V_G = 0}$ er ${g_m(\text{sat.}) = G_0[1 - (V_0/V_p)^{1/2}]}$, og $V_0$ endrer seg lite med dopingen. Allerede ved ${V_G = 0}$ er sonen fra kontaktpotensialet alene ${a(V_0/V_p)^{1/2}}$ bred. Når $V_p$ nærmer seg $V_0$, fyller den sonen nesten hele halvhøyden, og $g_m(\text{sat.})$ blir en liten del av $G_0$.

Sjekk deg selv