Energibånd og ladningsbærere

Fra binding til bånd

Et isolert atom har skarpe energinivåer. Et fast stoff har bånd. Forskjellen kommer av hvor mange nivåer som ligger inntil hverandre. To atomorbitaler som overlapper gir én bindende kombinasjon lavere i energi, med tetthet mellom kjernene, og én antibindende høyere. Senkingen av den nedre er den kovalente bindingen. $N$ atomorbitaler gir $N$ nivåer, og for $N \sim 10^{23}$ ligger nivåene så tett at de danner et sammenhengende bånd.

Bredden på båndet settes av gitteravstanden, gjennom overlappen mellom naboer. Antall nivåer settes av $N$. Disse to er lette å blande sammen.

I Si smelter $3s$- og $3p$-nivåene sammen til ett bånd med $8N$ tilstander når avstanden krymper mot gitterkonstanten, og båndet splittes så i $4N$ tilstander nede og $4N$ oppe. De $4N$ valenselektronene fyller det nedre båndet nøyaktig. Valensbåndet er altså fullt og ledningsbåndet tomt ved 0 K, og det følger av at Si har fire valenselektroner per atom.

Grunnstoffene i gruppe IV viser det samme. Gitteravstanden vokser fra 3,56 Å i diamant til 6,49 Å i grått tinn, og gapet krymper i takt, fra rundt 5 eV til 0,08 eV.

Metall, halvleder og isolator

For å akselereres av et felt må et elektron flytte seg til en tilstand det ikke allerede er i. I et fullt bånd er hver eneste tilstand opptatt, og Pauli sperrer enhver ny fordeling. Elektronene der står likevel ikke stille: de beveger seg like mye begge veier, og båndet er fastlåst.

Si ved 0 K er derfor en isolator. Forskjellen på Si og diamant er et tall, $1{,}1$ eV mot rundt 5 eV, og gapet står i eksponenten: termisk energi løfter et merkbart antall elektroner over 1 eV og praktisk talt ingen over 5. I metaller er det øverste båndet delvis fylt, eller båndene overlapper, så elektroner og ledige tilstander ligger blandet.

$E$–$k$-diagrammet

Formen på båndene får man ved å regne på ett elektron i et perfekt periodisk gitter. Løsningen er $\psi_k(x) = U(k_x, x)\, e^{jk_x x}$, en planbølge ganget med en funksjon som gjentar seg med gitterets periode. Energien plottes mot bølgevektoren $k$, én krystallretning om gangen, i et $E$–$k$-diagram.

Her er $ka$ fasen bølgefunksjonen får per gitteravstand, så $k$ er en etikett på tilstanden. Størrelsen $\hbar k$ oppfører seg som bevegelsesmengde overfor ytre krefter og heter derfor krystallmomentum, men gitterkreftene er utelatt, så den er ikke elektronets virkelige bevegelsesmengde.

Den enkleste regningen som faktisk viser båndene, er Kronig–Penney-modellen: gitterets potensial erstattes av en uendelig, periodisk rekke like, rektangulære barrierer. Innenfor hver brønn og hver barriere er potensialet konstant, så Schrödingerligningen har de kjente løsningene derfra, svingende der $E$ ligger over potensialet og eksponentielt dempet der det ligger under. Kravene som binder delene sammen, er at $\psi$ og $d\psi/dx$ er kontinuerlige på hver kant, og at helheten er en Bloch-funksjon, altså gjentar seg med faktoren $e^{ikd}$ per periode $d$. Kravene lar seg bare oppfylle når $E$ og $k$ passer sammen i én ligning: velg $k$, løs den for $E$, og tegn punktene, så har du $E(k)$-diagrammet. Noen energiintervaller mangler løsning uansett $k$, og det er båndgapene.

Du leser tre ting ut av diagrammet. Stigningstallet er farten, $v = \dfrac{1}{\hbar}\dfrac{dE}{dk}$, altså gruppehastigheten til bølgepakken. Krumningen er massen. Hvor ekstremalpunktene ligger i forhold til hverandre avgjør om materialet kan lyse.

I GaAs ligger begge ekstremalpunktene ved $k = 0$, i dalen som kalles $\Gamma$, så et elektron kan falle rett ned og gi fra seg $E_g = 1{,}43$ eV som et foton. Materialet er en direkte halvleder. Ledningsbåndet har også daler ved høyere energi lenger ut i $k$, kalt $L$ og $X$; de er slakkere krummet, så elektronene der er tyngre. I Si ligger ledningsbåndminimet omtrent 85 % av veien ut mot sonegrensen, og halvlederen er indirekte: overgangen krever en momentumendring i tillegg. Et foton med gapenergien har et bølgetall rundt tusen ganger for lite til å betale den, så et fonon må levere momentumet mens fotonet leverer energien. To partnere i samme øyeblikk er sjelden, den radiative raten faller flere tierpotenser, og energien havner som regel som varme. Derfor bygges lysdioder og lasere i direkte III–V-materialer.

Effektiv masse

Et elektron i en krystall kjenner gitterpotensialet og det ytre feltet samtidig, og å løse $F_\text{indre} + F_\text{ytre}$ for hver komponent er håpløst. Den jobben gjøres én gang. Vi løser det periodiske problemet, pakker svaret i $E(k)$, og leser massen ut av formen.

Utledningen er fire linjer. Deriver gruppehastigheten med hensyn på tid, der bare $k$ avhenger av tid:

Sett inn akselerasjonsteoremet $F_\text{ytre} = \dfrac{d(\hbar k)}{dt}$:

Sammenlign med $dv/dt = F/m$, og massen står igjen som det tallet Newtons lov krever:

Det er effektiv masse, og ingenting ble definert underveis. En konstant kraft flytter bæreren like fort gjennom $k$-rommet uansett hvilket materiale den står i. Det som varierer, er hvor mye fart bæreren får ut av hvert steg i $k$, og det avgjøres av krumningen. Skarp krumning gir en lett bærer, flatt bånd en tung.

Nær et båndminimum er de fleste bånd parabolske, $E = E_c + \dfrac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$, og da er $m^*$ konstant. En bærer ved romtemperatur holder seg helt nederst i båndet, så tilnærmingen gjelder der bærerne faktisk er. For elektroner i Si regnes det med $0{,}26\,m_0$. Silisium har flere effektive masser, og hvilken du skal bruke avhenger av hva du regner på.

På valensbåndtoppen er $d^2E/dk^2$ negativ, altså $m^* < 0$. Et valensbåndelektron du dytter mot høyre, akselererer mot venstre. Negativ ladning og negativ masse gir en akselerasjon langs feltet, nøyaktig som positiv ladning og positiv masse ville gitt.

Elektroner og hull

Hullet arver hastigheten til det manglende elektronet, og ladningen $+q$ følger av at krystallen er like nøytral før og etter eksitasjonen. Massen blir positiv fordi to fortegn snur samtidig, $a = (-q)\mathcal{E}/(-|m^*|) = +q\mathcal{E}/|m^*|$, med $\mathcal{E}$ for det elektriske feltet.

I ett og samme bånd fører du enten elektronregnskapet eller hullregnskapet. Hullstrømmen er allerede summen over alle båndets elektroner, så å legge elektronbidraget oppå er dobbelttelling. Det er en vanlig feil på eksamen.

Hullenergien øker nedover i båndskjemaet, så hull samler seg på toppen av valensbåndet og elektroner på bunnen av ledningsbåndet. Begge søker laveste energi, hver sin vei på tegningen.

Intrinsisk materiale

En perfekt krystall uten dopanter og gitterfeil er en intrinsisk halvleder. De eneste bærerne er par som termisk energi har løftet over gapet, ett elektron-hull-par om gangen, og siden de lages parvis må de være like mange.

Det er én brutt binding per $3{,}3 \times 10^{12}$ atomer. Rent silisium er nesten en isolator.

Likevekten står ikke stille. Bindinger brytes og elektroner faller tilbake i et hull hele tiden, og ved termisk likevekt er ratene like store. En rekombinasjon krever at et elektron og et hull møtes, så raten går som produktet $n_0p_0$: $r_i = a_r n_0 p_0 = g_i$. Generasjonen settes av temperaturen alene, så produktet er låst til $n_i^2$.

Doping

Vi kan bestemme hvilken bærertype som dominerer ved å tilsette urenheter med vilje. Slikt materiale kalles ekstrinsisk, og nesten alle komponenter er bygd av det.

I Si ligger begge nivåene $0{,}03$–$0{,}06$ eV fra nærmeste båndkant, i Ge omtrent $0{,}01$ eV, mot et gap på $1{,}1$ eV. Nivåer så tett på kanten kalles grunne, og ved romtemperatur er praktisk talt hver donor i Si ionisert.

Du kan anslå nivået selv. Det femte elektronet er bundet til én overskuddsladning inne i en krystall, altså hydrogenatomet med to bytter: fri masse blir $m_n^*$, og vakuum blir materialets $\varepsilon_r$. Begge svekker bindingen, så hydrogenets egne resultater kan skaleres direkte.

En ionisert donor er et fast positivt ion låst i gitteret, så n-type silisium er nøyaktig like nøytralt som udopet: doping endrer bare hvilken bærer som er bevegelig. De samme ionene bygger romladningssonen i pn-overgangen.

Den dominerende typen kalles majoritetsbærere, den andre minoritetsbærere. De $2{,}25 \times 10^{5}$ hullene betyr ingenting for hvor godt materialet leder, men de styrer hva en pn-overgang gjør.

Sjekk deg selv