Bærerkonsentrasjoner ved likevekt

Fermi–Dirac-fordelingen

Majoritetskonsentrasjonen i dopet materiale er grei: én bærer per ionisert dopant. Minoritetskonsentrasjonen og temperaturavhengigheten er ikke like synlige, og for å få tak i dem må vi vite hvordan elektronene fordeler seg over tilstandene som finnes.

Elektroner er identiske, har bølgenatur og lyder Pauli-prinsippet. Fordelingen som følger av de tre kravene, er Fermi–Dirac-fordelingen:

$f(E)$ er sannsynligheten for at en tillatt tilstand med energi $E$ er okkupert ved termisk likevekt, og $k_B$ er Boltzmanns konstant, $8{,}62 \times 10^{-5}$ eV/K. Ved romtemperatur er $k_BT = 0{,}0259$ eV. Den ene frie størrelsen i fordelingen er $E_F$.

Ved 0 K er fordelingen en firkant: hver tilstand under $E_F$ er fylt, hver tilstand over er tom. Varmer du materialet opp, mykner kanten over noen $k_BT$, og fordelingen får en hale av fylte tilstander over $E_F$ og en tilsvarende hale av tomme under. Mer enn noen tideler av en eV strekker halene seg aldri ved vanlige temperaturer.

$f(E)$ sier bare noe om tilstander som finnes. I gapet har fordelingen helt vanlige verdier, men ingenting å virke på, så der blir det ingen elektroner uansett.

Fra fordeling til konsentrasjon

Konsentrasjonen av elektroner i ledningsbåndet er sannsynlighet ganger antall plasser, summert over båndet:

Her er tilstandstettheten $N(E)$ antall tilstander per volum og energienhet. Nær båndkanten vokser den som $\sqrt{E - E_c}$, fra null på selve kanten, mens $f$ faller eksponentielt. Produktet $fN$ er derfor null på kanten, topper seg noen $k_BT$ over og dør ut derfra: elektronene ligger i en tynn stripe like over $E_c$. Hullene ligger tilsvarende i en stripe like under $E_v$, med $1 - f$ som sannsynlighet og $\sqrt{E_v - E}$ som tetthet.

Legg $f(E)$ på siden, med energiaksen loddrett langs båndskjemaets. Står $E_F$ nær midten av gapet, er elektronhalen over $E_c$ og hullhalen under $E_v$ like store, og materialet er intrinsisk. Skyver dopingen $E_F$ oppover, vokser elektronstripen eksponentielt mens hullstripen krymper like fort. Derfor trenger et båndskjema bare én strek for $E_F$: posisjonen gir begge fordelingene.

Resultatet av integralet kan skrives som om hele båndet var $N_c$ tilstander lagt på selve kanten, $n_0 = N_c f(E_c)$, med $N_c$ gitt av $N_c = 2\left(\dfrac{2\pi m_n^* k_BT}{h^2}\right)^{3/2}$. Ligger $E_F$ noen $k_BT$ under $E_c$, er eneren i nevneren til $f$ ubetydelig, og sannsynligheten blir en ren eksponensial. Det er Boltzmann-tilnærmingen, og med den:

Begge står i Formelsamlingen. Avstanden fra $E_F$ til båndkanten står i eksponenten, og $k_BT \ln 10 \approx 60$ meV ved romtemperatur: hver 60 meV $E_F$ flyttes nærmere $E_c$, tidobles $n_0$.

For Si ved 300 K er $N_c \approx 2{,}9 \times 10^{19}$ cm⁻³ og $N_v \approx 1{,}0 \times 10^{19}$ cm⁻³. Intrinsisk Si har $1{,}5 \times 10^{10}$ bærere per cm³, så hver enkelt tilstand nær kanten er nesten sikkert tom. Det er de enorme antallene tilstander som likevel gjør konsentrasjonene merkbare, og som gjør at små endringer i $f$ gir store endringer i bærertall.

Massevirkningsloven

Gang de to konsentrasjonene sammen, og $E_F$ faller bort:

Produktet avhenger av materialet og temperaturen, ikke av dopingen. I intrinsisk materiale er $n_0 = p_0 = n_i$, så $n_i = \sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/2k_BT}$, med halve gapet i eksponenten. For Si ved 300 K er $n_i = 1{,}5 \times 10^{10}$ cm⁻³.

Ofte er det lettere å måle $E_F$ fra det intrinsiske nivået $E_i$ enn fra en båndkant. Bytter du referanse, blir konsentrasjonene $n_0 = n_i e^{(E_F - E_i)/k_BT}$ og $p_0 = n_i e^{(E_i - E_F)/k_BT}$: $n_0$ er $n_i$ når $E_F$ står på $E_i$, og vokser eksponentielt når nivået trekker mot ledningsbåndet. $E_i$ ligger nær midten av gapet, men ikke nøyaktig. Sett $n_0 = p_0$ i Boltzmann-uttrykkene, og nivået faller ut: $E_i$ ligger $\tfrac{1}{2}k_BT\ln(N_c/N_v) = \tfrac{3}{4}k_BT\ln(m_n^*/m_p^*)$ under midten, altså midt i gapet bare når $N_c = N_v$. For Si gir massene omtrent 13 meV ved romtemperatur.

Effektiv masse for tilstandstetthet

Formelen for $N_c$ inneholder én effektiv masse, og ledningsbåndet i Si har flere krumninger å velge mellom. Minimet ligger et stykke ut mot sonegrensen, og krystallen har seks likeverdige retninger å legge det i, så båndet har seks like daler. Flatene med konstant energi rundt hvert minimum er sigarformede ellipsoider: krumningen langs sigaren gir $m_l = 0{,}98\,m_0$, krumningen på tvers gir $m_t = 0{,}19\,m_0$.

Tellingen av tilstander skal ha med alle seks dalene og begge krumningene. I $N_c$ står massen som $(m^*)^{3/2}$, så bidragene må settes sammen i samme potens, $(m_n^*)^{3/2} = 6\,(m_l\, m_t^2)^{1/2}$: et geometrisk middel av krumningsmassene i én dal, ganget med antall daler.

Valensbåndtoppen telles på samme måte. Der møtes to bånd med hver sin krumning, lette og tunge hull, og bidragene deres legges sammen; for Si gir det $m_p^* \approx 0{,}55\,m_0$.

Massen her er til telling. Regner du på hvordan bærerne beveger seg i felt, veies de samme krumningene annerledes, og da er tallet for elektroner i Si $0{,}26\,m_0$.

Temperaturavhengigheten

Temperaturen står to steder i $n_i$: som $T^{3/2}$ i $N_c$ og $N_v$, og i eksponenten $e^{-E_g/2k_BT}$. Eksponenten dominerer så grundig at $\ln n_i$ mot $1/T$ er praktisk talt en rett linje med stigningstall $-E_g/2k$. Slike kurver plottes mot $1000/T$, så temperaturen øker mot venstre. Gapet bestemmer nivåene: ved 300 K er $n_i$ lik $2{,}5 \times 10^{13}$ cm⁻³ i Ge, $1{,}5 \times 10^{10}$ i Si og $2 \times 10^{6}$ i GaAs.

Dopet materiale følger $n_i$-kurven bare ved de høyeste temperaturene. Ved lave temperaturer sitter donorelektronene fortsatt bundet på donorene; oppvarming ioniserer dem, og i typisk dopet Si er alle donert til ledningsbåndet rundt 100 K. Derfra er $n_0 = N_d$, flatt over et bredt temperaturområde: ioniseringen er ferdig, og $n_i$ er ennå mange tierpotenser mindre. Først når $n_i$ vokser seg opp mot $N_d$, tar de termiske parene over, og materialet oppfører seg intrinsisk uansett doping.

Komponenter skal styres av dopingen, så materialet dopes hardt nok til at det ekstrinsiske platået dekker hele driftsområdet: jo høyere $N_d$, desto høyere temperatur før $n_i$ tar igjen.

Kompensasjon og ladningsnøytralitet

Et materiale kan inneholde begge slags dopanter samtidig. Med $N_d > N_a$ er det n-type, og $E_F$ ligger høyt i gapet, så akseptornivåene er fylt. Elektronene som fyller dem, er tatt fra ledningsbåndet: hver akseptor annullerer én donor, og igjen står $n_0 \approx N_d - N_a$. Det kalles kompensasjon, og med $N_a = N_d$ er konsentrasjonene tilbake på $n_i$ og $p_i$, i et materiale fullt av dopanter.

Regnskapet bak er ladningsnøytralitet: krystallen er nøytral, så positiv og negativ ladning må balansere,

Kravet står som én rad i Formelsamlingen. Sammen med massevirkningsloven bestemmer det $n_0$, $p_0$ og $E_F$ entydig; $E_F$ stiller seg dit begge er oppfylt.

Sjekk deg selv