Transienter, kapasitans og avvik fra den enkle teorien

Lagret ladning og tid

I lederetningen ligger det en lagret ladning $Q_p$ av hull på n-siden av en p⁺n-overgang. Endrer strømmen seg, må ladningen bygges opp eller tømmes, og det tar tid. Integrer kontinuitetsligningen for hull over hele n-siden, fra sonekanten til kontakten, og gang med $qA$. Strømleddet blir strømmen inn ved kanten, siden hullstrømmen er null langt inne:

I en p⁺n-overgang er hullstrømmen ved kanten nesten hele strømmen $i(t)$, så

Strømmen skal både erstatte hullene som rekombinerer, og bygge opp eller tømme ladningen. I stasjonær tilstand er $dQ_p/dt = 0$, og det som står igjen, er ladningskontroll.

Spenningen $v$ over overgangen er bundet til overskuddet ved kanten, $\Delta p_n = p_n(e^{qv/k_BT} - 1)$. Overskuddet er en del av den lagrede ladningen og kan ikke forsvinne på et øyeblikk, så spenningen kan ikke hoppe. Liten $v$ og $i$ brukes for størrelser som endrer seg med tiden.

Når strømmen slås av

Strømmen $I$ slås av ved $t = 0$. Da er $i = 0$ og $Q_p(0) = I\tau_p$, så

Ladningen dør ut med levetiden, og så lenge den er der, ligger det en spenning over overgangen. Profilen beholder ikke formen $e^{-x_n/L_p}$ underveis. Strømmen inn ved kanten er null, så gradienten der er null, og profilen flater ut nærmest sonen. Den kvasistasjonære tilnærmingen ser bort fra dette og regner profilen som eksponentiell i hvert øyeblikk, med $Q_p(t) = qAL_p\,\Delta p_n(t)$. Satt inn i uttrykket for $\Delta p_n$ gir det spenningen:

Spenningen er logaritmen av ladningen. Når ladningen faller med en faktor $e$, faller spenningen bare $k_BT/q$, så en diode som ledet ved 0,70 V, ligger fortsatt på 0,67 V én levetid etter at strømmen ble slått av.

Lagringstid

En p⁺n-diode står i serie med en motstand $R$ og en kilde som slås om fra $+E$ til $-E$. I lederetningen er spenningen over overgangen liten mot $E$, så strømmen er $I_f \approx E/R$. Rett etter omslaget ved $t = 0$ har overgangen fortsatt den lille positive spenningen, fordi den lagrede ladningen ikke er borte. Nesten hele $-E$ ligger da over motstanden, og det går en sperrestrøm $I_r \approx E/R$, like stor som strømmen i lederetningen og mange størrelsesordener større enn $I_0$.

Sperrestrømmen er de lagrede hullene som går tilbake over sonen. Gradienten ved kanten har snudd sammen med strømmen, og overskuddet ved kanten tømmes både av sperrestrømmen og av rekombinasjonen. Så lenge $\Delta p_n > 0$, er $v$ positiv og liten, og strømmen holder seg på $-I_r$. Når $\Delta p_n$ når null, begynner overgangen å ta opp spenningen. Sperrestrømmen avtar mens resten av ladningen hentes ut, og til slutt går bare $-I_0$. Tiden fram til $\Delta p_n = 0$ er lagringstiden $t_{sd}$. Den eksakte løsningen av diffusjonsligningen gir

der erf er feilfunksjonen, som slås opp i en tabell. Med $I_r = I_f$ er $\operatorname{erf}^{-1}(1/2) = 0{,}477$ og $t_{sd} = 0{,}23\,\tau_p$.

Uttrykket for $Q_p(t)$ er eksakt, siden det bare er ladningsbalansen. Det er koblingen $Q_p = qAL_p\,\Delta p_n$ som ikke holder. Sperrestrømmen henter hullene ved kanten, så området nærmest sonen tømmes først. Med $I_r = I_f$ er $Q_p(t_{sd}) = \tau_p(-I_f + 2I_fe^{-0{,}23}) = 0{,}59\,I_f\tau_p$, så tre femdeler av ladningen ligger ennå lenger inne når $\Delta p_n$ når null.

Lagringstiden er proporsjonal med $\tau_p$, så en måling av $t_{sd}$ i en krets som denne gir levetiden. Det er en vanlig måte å måle levetider på.

Svitsjedioder

En svitsjediode skal slå raskt om, så den må ha kort levetid, lagre lite ladning eller begge deler. Gull i Si er et effektivt rekombinasjonssenter, og levetiden er omtrent omvendt proporsjonal med gullkonsentrasjonen. En diode med $\tau_p = 1$ µs og $t_{sd} = 0{,}1$ µs, omtrent som i eksempelet, får $\tau_p = 0{,}1$ µs og $t_{sd} = 10$ ns med $10^{14}$ gullatomer per cm³. Mer gull hjelper bare til en grense, fordi gullnivåene i romladningssonen også genererer bærere og øker sperrestrømmen.

I en kort diode er den lett dopede siden kortere enn en diffusjonslengde. De fleste injiserte hullene diffunderer da helt fram til kontakten, profilen blir en rett linje fra $\Delta p_n$ til null, og lite ladning blir liggende.

Kapasitans

To ladninger i overgangen endrer seg med spenningen, og hver gir en kapasitans. Ionene i romladningssonen gir overgangskapasitansen $C_j$, som dominerer i sperreretningen. Den lagrede ladningen av minoritetsbærere gir diffusjonskapasitansen $C_s$, som dominerer i lederetningen. Ingen av ladningene er proporsjonal med spenningen, så kapasitansen er den deriverte, $C = |dQ/dV|$.

Overgangskapasitansen

Ladningen på hver side av sonen er ionene som er avdekket, $|Q| = qAx_{n0}N_d$. Med $x_{n0} = WN_a/(N_a + N_d)$ og sonebredden med spenning er

Det er barrieren $V_0 - V$ som endrer ladningen, så deriver med hensyn på den:

Det er formelen for en platekondensator. De nøytrale områdene er platene, sonen er dielektrikumet, og avstanden $W$ avhenger av spenningen. Sperrespenning gjør sonen bredere og kapasitansen mindre. I en p⁺n-overgang ligger sonen nesten bare på n-siden, og

Måler du $C_j$ ved en sperrespenning som er stor mot $V_0$, og kjenner arealet, har du dopingen på den lett dopede siden.

En diode som brukes for den spenningsstyrte kapasitansen, er en varaktor, for eksempel i avstemmingen i en radiomottaker. I en abrupt overgang er $C_j \propto V_r^{-1/2}$ når $V_r \gg V_0$, og dopingprofilen setter eksponenten. En gradvis overgang med lineær nettodoping gir $V_r^{-1/3}$. En hyperabrupt overgang, der dopingen på n-siden faller bort fra skillet, kan gi $V_r^{-2}$, og da vokser resonansfrekvensen i en LC-krets, som er proporsjonal med $1/\sqrt{C_j}$, lineært med $V_r$.

Diffusjonskapasitansen

I lederetningen vokser den lagrede ladningen eksponentielt med spenningen, og $C_s$ blir den store kapasitansen. Bare ladningen som kan hentes ut igjen gjennom kontaktene når spenningen senkes, teller. I en kort diode med lengden $c$ på n-siden er profilen en rett linje, så $Q_p = qAc\,\Delta p_n/2$, og to tredjedeler av den kan hentes ut:

med et tilsvarende bidrag fra elektronene på p-siden. I en lang diode gir den samme analysen ingen diffusjonskapasitans. De fleste Si-dioder oppfører seg som korte, mens laserdioder av direkte halvledere med kort levetid ofte er lange.

En liten endring i spenningen rundt et arbeidspunkt endrer strømmen med $G_s = dI/dV$. For en lang diode i lederetningen gir diodeligningen

så ved 1 mA er $1/G_s = 0{,}0259\ \text{V}/10^{-3}\ \text{A} = 26$ Ω.

Avvik fra den enkle teorien

Diodeligningen bygger på lav injeksjon, ingen rekombinasjon eller generasjon i sonen, hele spenningen over sonen og en abrupt overgang. Hver av antagelsene svikter et sted, og den virkelige karakteristikken får flere områder.

Båndgapet og høy injeksjon

Skriv diodeligningen for en p⁺n-overgang i lederetningen med $p_n = N_v\,e^{-(E_F - E_{vn})/k_BT}$, der $E_F - E_{vn}$ er avstanden fra Fermi-nivået ned til valensbåndet på n-siden:

Strømmen er liten til $qV$ nærmer seg $E_F - E_{vn}$. På p⁺-siden ligger Fermi-nivået nær valensbåndet, så denne avstanden er nesten $qV_0$, og er også n-siden sterkt dopet, er $qV_0$ nesten $E_g$. Karakteristikken knekker derfor like under $E_g/q$. Ved 77 K er båndgapet omtrent 0,7 eV for Ge, 1,1 eV for Si, 1,4 eV for GaAs og 1,9 eV for GaAsP, og knekken flytter seg med det. Liten $p_n = n_i^2/N_d$ ved lav temperatur og sterk doping holder strømmen under knekken enda lavere.

Spenningen over overgangen kan ikke bli større enn $V_0$, for da er barrieren borte. Diodeligningen sier ikke det, fordi den bygger på lav injeksjon, der overskuddet av majoritetsbærere er lite mot $p_p$ og $n_n$. Ved høy injeksjon gjelder fortsatt $pn = n_i^2e^{qV/k_BT}$ ved sonekanten, men nå med $\Delta p_p = \Delta n_p$ større enn $p_p$ og $n_p$ ubetydelig:

så $\Delta n_p = n_i\,e^{qV/2k_BT}$, og strømmen vokser som $e^{qV/2k_BT}$.

Rekombinasjon og generasjon i sonen

I lederetningen er sonen full av bærere på vei over, og er den ikke smal mot diffusjonslengdene, rekombinerer en del av dem der. Strømmen fra rekombinasjon i sonen er proporsjonal med $n_i$ og vokser omtrent som $e^{qV/2k_BT}$. Diffusjonsstrømmen fra de nøytrale områdene er proporsjonal med $p_n$ og $n_p$, altså med $n_i^2$, og vokser som $e^{qV/k_BT}$. Forholdet

er lite ved stort båndgap, lav temperatur og lav spenning. I Si er strømmen ved lave spenninger rekombinasjon i sonen, mens en Ge-diode følger diodeligningen. Begge tilfellene dekkes av

der idealitetsfaktoren $n$, som ikke er elektronkonsentrasjonen, går fra omtrent 2 ved lav spenning til 1 der diffusjonen tar over.

I sperreretningen er sonen nesten tom for bærere, så rekombinasjonssentrene der fanger nesten ingenting, men de sender fortsatt ut bærere. Et senter med nivået $E_r$ sender et elektron opp i ledningsbåndet, og et elektron fra valensbåndet eksiteres opp til det tomme nivået og etterlater et hull. Feltet feier bærerne ut før de kan fanges igjen, så det blir en netto generasjon. Nivåer nær midten av gapet er mest effektive, siden ingen av stegene krever mer enn halve båndgapet. Denne generasjonen betyr mest ved stort båndgap, så den er viktigere i Si enn i Ge. Den vokser med volumet av sonen, altså med $W$, og sperrestrømmen vokser derfor omtrent som $\sqrt{V_r}$, mens den ideelle holder seg på $I_0$.

Seriemotstand og gradvise overganger

Diodeligningen antar at hele spenningen $V_a$ over komponenten ligger over sonen. De nøytrale områdene har motstandene $R_p$ og $R_n$, og ved store strømmer tar de en del av spenningen:

Overgangen får mindre spenning, injeksjonen blir mindre, og strømmen vokser saktere enn eksponentielt. Motstandene avhenger selv av strømmen, siden de injiserte bærerne øker ledningsevnen i de nøytrale områdene. I en godt konstruert diode er dopingen og geometrien valgt så dette bare merkes over det vanlige arbeidsområdet.

Med strømmen på logaritmisk akse får lederetningen fire områder:

En overgang lagd ved diffusjon eller implantasjon er ofte gradvis. Kan nettodopingen regnes som lineær i $x$ gjennom sonen, vokser romladningen lineært, feltet blir en parabel i stedet for en trekant, og uttrykkene for $V_0$ og $C_j$ endres, som i $C_j \propto V_r^{-1/3}$ over. Utarmingstilnærmingen er også mindre nøyaktig, fordi kantene av sonen ikke er skarpe når dopingen endrer seg sakte. Konklusjonene om injeksjon, rekombinasjon og generasjon holder likevel kvalitativt.

Sjekk deg selv