Diodeligningen og gjennombrudd

Injeksjon av minoritetsbærere

I likevekt er forholdet mellom hullkonsentrasjonene på de to sidene satt av barrieren, $p_p/p_n = e^{qV_0/k_BT}$ . Med spenning er barrieren $V_0 - V$ , og samme regning gir forholdet mellom konsentrasjonene ved de to kantene av sonen:

\frac{p(-x_{p0})}{p(x_{n0})} = e^{q(V_0 - V)/k_BT}

Ved lav injeksjon endrer majoritetskonsentrasjonen seg lite, så $p(-x_{p0}) = p_p$ som før. Del likevektsforholdet på det nye:

\frac{p(x_{n0})}{p_n} = e^{qV/k_BT}

Hullkonsentrasjonen ved kanten av n-siden vokser eksponentielt med spenningen i lederetningen og faller under $p_n$ i sperreretningen. Overskuddet ved kanten er

\begin{aligned} \Delta p_n &= p(x_{n0}) - p_n = p_n\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \\ \Delta n_p &= n(-x_{p0}) - n_p = n_p\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \end{aligned}

Dette er injeksjon. Spenningen holder et fast overskudd av minoritetsbærere ved hver sonekant, hull på n-siden og elektroner på p-siden, og fra kanten diffunderer de innover i det nøytrale materialet og rekombinerer, akkurat som hullene som sprøytes inn i enden av en stav. Regn avstanden fra kanten, $x_n$ innover i n-siden og $x_p$ innover i p-siden. Er begge sidene lange mot diffusjonslengden, er profilene

\begin{aligned} \delta p(x_n) &= \Delta p_n\, e^{-x_n/L_p} \\ \delta n(x_p) &= \Delta n_p\, e^{-x_p/L_n} \end{aligned}

I båndskjemaet ligger kvasi-Fermi-nivåene $F_n$ og $F_p$ avstanden $qV$ fra hverandre inne i sonen, så der er $pn = n_i^2\,e^{(F_n - F_p)/k_BT} = n_i^2\,e^{qV/k_BT}$ . Utenfor sonen er det minoritetsnivået som flytter seg. $F_p$ på n-siden stiger lineært med $x_n$ og møter $E_F$ etter mange diffusjonslengder, mens majoritetsnivået nesten ikke rører seg.

Diodeligningen

Hullstrømmen på n-siden er diffusjonsstrømmen fra profilen, og den er proporsjonal med overskuddet i hvert punkt:

I_p(x_n) = -qAD_p\frac{d\,\delta p}{dx_n} = qA\frac{D_p}{L_p}\,\delta p(x_n)

Ved kanten $x_n = 0$ er dette hele hullstrømmen som injiseres i n-siden. Tilsvarende for elektronene inn i p-siden:

\begin{aligned} I_p(x_n = 0) &= qA\frac{D_p}{L_p}\,\Delta p_n \\ I_n(x_p = 0) &= -qA\frac{D_n}{L_n}\,\Delta n_p \end{aligned}

Minustegnet sier bare at elektronstrømmen går mot $x_p$ -retningen, altså i $+x$ , samme vei som hullstrømmen. Regn med at ingenting rekombinerer inne i sonen. Da går hvert elektron som forlater p-siden ved $-x_{p0}$ , ut gjennom $x_{n0}$ , så hele strømmen finnes ved $x_{n0}$ som summen av de to:

\begin{aligned} I &= qA\left(\frac{D_p}{L_p}p_n + \frac{D_n}{L_n}n_p\right)\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \\ &= I_0\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \end{aligned}

Det er diodeligningen, nå med metningsstrømmen regnet ut. Ingenting i utledningen krever $V > 0$ : med $V = -V_r$ og $V_r$ noen $k_BT/q$ er $I = -I_0$ . Strømmen er den samme i hvert tverrsnitt av dioden, så $I$ gjelder overalt, selv om fordelingen mellom hull og elektroner skifter fra sted til sted.

Siden $p_n = n_i^2/N_d$ og $n_p = n_i^2/N_a$ , er det den lett dopede siden som har flest minoritetsbærere og tar imot mest injeksjon. I en p⁺n-overgang med $N_a \gg N_d$ er $n_p$ ubetydelig mot $p_n$ , så strømmen er nesten bare hull injisert i n-siden, og den lagrede ladningen sitter der. Skal hullstrømmen dobles, halverer du dopingen på n-siden. Å doble p⁺-dopingen gjør ingenting. En overgang implantert i et substrat med $N_d = 10^{14}$ cm⁻³ er p⁺n med god margin, og det er den vanlige situasjonen i komponenter.

Regneeksempel strømmen i en Si-diode

En abrupt Si-overgang med $A = 10^{-4}$ cm² har $N_a = 10^{17}$ cm⁻³, $\tau_n = 0{,}1$ µs og $\mu_n = 700$ cm²/V·s på p-siden, og $N_d = 10^{15}$ cm⁻³, $\tau_p = 10$ µs og $\mu_p = 450$ cm²/V·s på n-siden. Mobilitetene er minoritetsbærernes. Finn strømmen ved $+0{,}5$ V og ved $-0{,}5$ V ved 300 K.

Vis løsning Skjul løsning

Minoritetskonsentrasjonene i likevekt:

\begin{aligned} p_n &= \frac{n_i^2}{N_d} = \frac{2{,}25 \times 10^{20}}{10^{15}} \\ &= 2{,}25 \times 10^{5}\ \text{cm}^{-3} \\ n_p &= \frac{n_i^2}{N_a} = \frac{2{,}25 \times 10^{20}}{10^{17}} \\ &= 2{,}25 \times 10^{3}\ \text{cm}^{-3} \end{aligned}

Diffusjonskoeffisientene fra Einstein-relasjonen, $D = (k_BT/q)\,\mu$ :

\begin{aligned} D_p &= 0{,}0259 \cdot 450 = 11{,}7\ \text{cm}^2\text{/s} \\ D_n &= 0{,}0259 \cdot 700 = 18{,}1\ \text{cm}^2\text{/s} \end{aligned}

Diffusjonslengdene:

\begin{aligned} L_p &= \sqrt{D_p\tau_p} = \sqrt{11{,}7 \cdot 10^{-5}} \\ &= 1{,}08 \times 10^{-2}\ \text{cm} \\ L_n &= \sqrt{D_n\tau_n} = \sqrt{18{,}1 \cdot 10^{-7}} \\ &= 1{,}35 \times 10^{-3}\ \text{cm} \end{aligned}

Metningsstrømmen, ledd for ledd:

\begin{aligned} \frac{D_p}{L_p} &= \frac{11{,}7}{1{,}08 \times 10^{-2}} \\ &= 1{,}08 \times 10^{3}\ \text{cm/s} \\ \frac{D_p}{L_p}p_n &= 1{,}08 \times 10^{3} \cdot 2{,}25 \times 10^{5} \\ &= 2{,}43 \times 10^{8}\ \text{cm}^{-2}\text{s}^{-1} \\ \frac{D_n}{L_n} &= \frac{18{,}1}{1{,}35 \times 10^{-3}} \\ &= 1{,}34 \times 10^{4}\ \text{cm/s} \\ \frac{D_n}{L_n}n_p &= 1{,}34 \times 10^{4} \cdot 2{,}25 \times 10^{3} \\ &= 3{,}0 \times 10^{7}\ \text{cm}^{-2}\text{s}^{-1} \\ I_0 &= qA\,(2{,}43 + 0{,}30) \times 10^{8} \\ &= 1{,}6 \times 10^{-23} \cdot 2{,}73 \times 10^{8} \\ &= 4{,}37 \times 10^{-15}\ \text{A} \end{aligned}

Lederetning: $qV/k_BT = 0{,}5/0{,}0259 = 19{,}3$ og $e^{19{,}3} = 2{,}42 \times 10^{8}$ , så

\begin{aligned} I &= 4{,}37 \times 10^{-15} \cdot 2{,}42 \times 10^{8} \\ &= 1{,}06 \times 10^{-6}\ \text{A} \end{aligned}

Sperreretning: $e^{-19{,}3}$ er null i praksis, så $I = -I_0 = -4{,}37 \times 10^{-15}$ A.
Hullenes andel av strømmen er $2{,}43/2{,}73 = 0{,}89$ , injisert i den lett dopede n-siden.

Svar

$I = 1{,}06$ µA ved $+0{,}5$ V og $-4{,}4 \times 10^{-15}$ A ved $-0{,}5$ V, et forhold på $2 \times 10^{8}$ . Ni tideler av strømmen i lederetningen er hull.

Ladningskontroll

Den samme strømmen kan regnes ut fra ladningen som ligger lagret i profilen. Overskuddet av hull på n-siden er arealet under profilen, $Q_p = qA\,L_p\,\Delta p_n$ . Hvert hull lever i gjennomsnitt $\tau_p$ før det rekombinerer, så hele ladningen må fylles på hvert $\tau_p$ sekund, og strømmen inn er

\begin{aligned} I_p(x_n = 0) &= \frac{Q_p}{\tau_p} = qA\frac{L_p}{\tau_p}\,\Delta p_n \\ &= qA\frac{D_p}{L_p}\,\Delta p_n \end{aligned}

siden $L_p^2 = D_p\tau_p$ gir $L_p/\tau_p = D_p/L_p$ . Det er samme svar som fra gradienten, og ladningskontroll er ofte den raskeste veien til strømmen. I eksempelet over er $Q_p = qAL_p\Delta p_n = 9{,}4 \times 10^{-12}$ C ved $+0{,}5$ V, og $Q_p/\tau_p = 0{,}94$ µA er hullstrømmen.

Strømkomponentene langs dioden

Ved sonekantene er strømmen delt i hullstrømmen $I_p(0)$ inn i n-siden og elektronstrømmen $I_n(0)$ inn i p-siden. Innover i n-siden dør hullstrømmen ut som $e^{-x_n/L_p}$ , sammen med overskuddet. Den samlede strømmen er den samme overalt, så elektronene må ta over:

I_n(x_n) = I - I_p(x_n)

Elektronene strømmer inn fra n-kontakten for å erstatte dem som rekombinerer med de injiserte hullene nær sonen, og for å levere elektronene som injiseres videre inn i p-siden. Noen diffusjonslengder fra sonen bærer majoritetsbærerne hele strømmen. Det samme gjelder speilvendt på p-siden.

Injeksjon og strømkomponentene

Dra i spenningen og velg dopingen. Øverst er dioden med bare minoritetsbærerne tegnet: røde hull på n-siden og blå elektroner på p-siden. Hver prikk diffunderer, og forsvinner når den rekombinerer; nye lages jevnt av termisk generasjon. I lederetningen kommer det hele tiden nye over sonen, i sperreretningen feies de som når kanten, over til den andre siden. I midten er profilene $p(x_n)$ og $n(x_p)$ med likevektsverdiene som stiplede linjer; det skraverte arealet er den lagrede ladningen $Q_p$ og $Q_n$ , og skalaen følger den høyeste kurven. Nederst er strømmen delt i hullstrøm og elektronstrøm, med fast samlet høyde: båndene viser andelene, ikke hvor stor strømmen er. Pilene går den veien bærerne beveger seg, elektronene mot strømmen sin. Tegningen bruker en slakere eksponent enn $e^{qV/k_BT}$ , og sonen er ikke i skala med diffusjonslengdene.

Utenfor sonen er minoritetsstrømmen diffusjon, siden bærerne er få, men gradienten stor. Majoritetsstrømmen er drift i et lite felt. Det feltet er ikke null, så ikke hele spenningen faller over sonen, men majoritetsbærerne er så mange at feltet som trengs, er lite, og regningen med hele $V$ over sonen holder for det meste.

Elektronstrømmen på n-siden

Skriv $F = e^{qV/k_BT} - 1$ , og sett diodeligningen og hullstrømmen inn i $I_n(x_n) = I - I_p(x_n)$ :

\begin{aligned} I_p(x_n) &= qA\frac{D_p}{L_p}\,p_n\,e^{-x_n/L_p}\,F \\ I_n(x_n) &= qA\left[\frac{D_p}{L_p}\left(1 - e^{-x_n/L_p}\right)p_n\right. \\ &\qquad\left. + \frac{D_n}{L_n}n_p\right]F \end{aligned}

Det første leddet er elektronene som rekombinerer med de injiserte hullene; det andre er elektronene som skal over sonen inn i p-siden.

Sperreretning: ekstraksjon

Sett $V = -V_r$ i uttrykket for overskuddet:

\begin{aligned} \Delta p_n &= p_n\left(e^{-qV_r/k_BT} - 1\right) \\ &\approx -p_n \quad\text{for } V_r \gg k_BT/q \end{aligned}

og tilsvarende $\Delta n_p \approx -n_p$ . Allerede ved noen tideler av en volt er minoritetskonsentrasjonen ved kantene i praksis null. Profilene er de samme eksponentialene med negativt fortegn: $p(x_n) = p_n(1 - e^{-x_n/L_p})$ , tømt for minoritetsbærere en diffusjonslengde ut på hver side. Det er ekstraksjon, motstykket til injeksjon. Et hull som når kanten, feies ned barrieren og erstattes ikke av noen diffusjon motsatt vei, så det oppstår en gradient, og hullene i n-siden diffunderer mot sonen. Metningsstrømmen krysser sonen som drift, men mates av diffusjon fra begge sider, og hullene som mater den, lages termisk innenfor en diffusjonslengde. Generasjonsraten i det volumet er $p_n/\tau_p$ per cm³, så hullbidraget er $qA\,p_nL_p/\tau_p$ , som er akkurat $qA\,D_pp_n/L_p$ i $I_0$ .

Kvasi-Fermi-nivåene splitter motsatt vei av lederetningen, $F_n$ mot $E_v$ og $F_p$ mot $E_c$ , siden det er færre bærere enn i likevekt. $F_p$ kan gå inn i ledningsbåndet på n-siden. Det betyr bare at hullkonsentrasjonen der er enda mindre enn $p_n$ , siden $F_p$ måler hull og leses mot $E_v$ . Inne i sonen er $pn = n_i^2\,e^{-qV_r/k_BT} \approx 0$ .

Gjennombrudd

Metningsstrømmen holder seg til en kritisk sperrespenning $V_\text{br}$ . Der vokser sperrestrømmen bratt, og store strømmer går med nesten ingen økning i spenningen, så sperrekarakteristikken får en skarp knekk. Det er gjennombrudd, og det er ikke ødeleggende i seg selv. Med en kilde $E$ og en seriemotstand $R$ er den største sperrestrømmen $(E - V_\text{br})/R$ , og med $R$ valgt riktig arbeider dioden like trygt i gjennombrudd som i lederetningen. Det som ødelegger, er varmen fra for stor strøm, i begge retninger. To mekanismer gir gjennombrudd, og begge krever et kritisk felt i sonen: Zener-effekten opp til noen få volt, og skred fra noen volt til tusener.

Zener-effekten

I en overgang som er sterkt dopet på begge sider, er sonen tynn, og sperrespenningen krysser båndene allerede ved noen tideler av en volt: ledningsbåndet på n-siden ligger da rett overfor valensbåndet på p-siden, skilt av en barriere med bredde $d$ . Da kan elektroner tunnelere fra de fylte tilstandene i valensbåndet på p-siden til de tomme i ledningsbåndet på n-siden, og det er en sperrestrøm fra n til p. Tunnelering krever mange fylte tilstander overfor mange tomme, skilt av en smal barriere, så overgangen må være skarp og dopingen høy. Mer sperrespenning gir brattere bånd og mindre $d$ , mens $W$ nesten ikke vokser, så strømmen vokser bratt. Feltet som trengs, er omtrent $10^6$ V/cm; i bindingsbildet river feltet elektroner ut av de kovalente bindingene. Er dopingen lavere eller overgangen gradvis, blir $W$ for bred for tunnelering, og skred tar over.

Skredgjennombrudd

I en lett dopet overgang er sonen for bred for tunnelering, men feltet kan gi en bærer nok kinetisk energi til at den slår løs et elektron-hull-par når den kolliderer med gitteret. Det er støtionisasjon. Det opprinnelige elektronet og det nye feies til n-siden, hullet til p-siden, og hver av de nye bærerne kan selv slå løs et par: et skred.

Anta at en bærer har sannsynligheten $P$ for en ioniserende kollisjon på veien gjennom sonen. Av $n_\text{in}$ elektroner inn fra p-siden gir det $Pn_\text{in}$ par, og siden hvert nytt par til sammen går en avstand $W$ i sonen, gir de $P^2n_\text{in}$ nye par, og så videre. Antall elektroner ut på n-siden er

\begin{aligned} n_\text{ut} &= n_\text{in}\left(1 + P + P^2 + \cdots\right) \\ M &= \frac{n_\text{ut}}{n_\text{in}} = \frac{1}{1 - P} \end{aligned}

Når $P$ nærmer seg 1, vokser multiplikasjonen uten grense, og strømmen settes av kretsen utenfor. $P$ vokser med feltet, altså med sperrespenningen, og målt multiplikasjon nær gjennombrudd følger

M = \frac{1}{1 - (V/V_\text{br})^n}

med $n$ mellom 3 og 6 etter materialet. $V_\text{br}$ vokser med båndgapet, siden en ioniserende kollisjon krever mer energi, og faller med dopingen på den lett dopede siden, siden feltet i sonen ved en gitt spenning vokser med dopingen. For Si faller $V_\text{br}$ fra noen hundre volt ved $N_d = 10^{15}$ cm⁻³ til omtrent 10 V ved $10^{17}$ cm⁻³.

Zener-effekten

Sterk doping på begge sider, tynn sone.
Tunnelering fra valensbåndet på p-siden til ledningsbåndet på n-siden.
Under noen få volt, feltet omtrent $10^6$ V/cm.

Skred

Lett doping på minst én side, bred sone.
Støtionisasjon og multiplikasjon, $M = 1/(1 - P)$ .
Fra noen volt til tusener; $V_\text{br}$ vokser med $E_g$ og faller med dopingen.

Likerettere og gjennombruddsdioder

Dioden leder bare én vei, og til det meste holder det å regne den som kortslutning i lederetningen og brudd i sperreretningen. Nærmere den virkelige karakteristikken kommer du med et spenningsfall på omtrent $V_0$ i serie, siden strømmen først blir stor når barrieren er nesten borte, og en seriemotstand for hellingen. En slik likeretter slipper bare de positive halvperiodene av en vekselspenning gjennom, og signalet ut har en likespenningsdel som kan filtreres ut.

En god likeretter har liten $I_0$ , liten seriemotstand og stor $V_\text{br}$ , og kravene drar hver sin vei. Stort båndgap gir liten $n_i$ og derfor liten $I_0$ , og tåler høyere temperatur, men gir større $V_0$ . Lett doping på den ene siden gir stor $V_\text{br}$ , men også større seriemotstand og mer varme, så det lett dopede området gjøres bredt i tverrsnitt og kort. Er det for kort, fyller sonen hele området før $V_\text{br}$ er nådd, og dioden bryter gjennom tidligere.

Dopingen kan også velges for en bestemt $V_\text{br}$ , fra under én volt til flere hundre. En slik gjennombruddsdiode har et skarpt gjennombrudd der strømmen kan variere mye uten at spenningen gjør det, og holder spenningen over en last fast eller gir en kjent referansespenning. Den kalles Zener-diode selv om mekanismen som regel er skred.

Sjekk deg selv

Hovedpunkter

Spenningen setter minoritetskonsentrasjonen ved sonekantene, $\Delta p_n = p_n(e^{qV/k_BT} - 1)$ og $\Delta n_p = n_p(e^{qV/k_BT} - 1)$ , og overskuddet faller som $e^{-x_n/L_p}$ og $e^{-x_p/L_n}$ innover. Inne i sonen er $F_n - F_p = qV$ .
Diffusjonsstrømmene ved kantene, lagt sammen uten rekombinasjon i sonen, gir $I = I_0(e^{qV/k_BT} - 1)$ med $I_0 = qA(D_pp_n/L_p + D_nn_p/L_n)$ . Den lett dopede siden tar nesten hele injeksjonen. Ladningskontroll gir det samme: $I_p(0) = Q_p/\tau_p$ med $Q_p = qAL_p\Delta p_n$ .
Strømmen er den samme i hvert tverrsnitt, men minoritetsstrømmen dør ut som $e^{-x/L}$ fra sonen, og majoritetsbærerne tar over.
I sperreretning er $\Delta p_n \approx -p_n$ . Kantene tømmes for minoritetsbærere, og $I_0$ er den termiske generasjonen innenfor en diffusjonslengde fra sonen.
Gjennombrudd ved $V_\text{br}$ : Zener-tunnelering i tynne, sterkt dopede soner under noen volt, skred ved støtionisasjon i brede soner med multiplikasjonen $M = 1/(1 - P)$ . $V_\text{br}$ vokser med $E_g$ og faller med dopingen.