Formelsamling

01 E–k-diagrammet

$\displaystyle \psi_k(x) = U(k_x, x)\, e^{jk_x x}$ Bloch-funksjonen består av to faktorer. $e^{jk_x x}$ er en planbølge, og $U(k_x, x)$ er en funksjon som gjentar seg med gitterets periode, $U(k_x, x + a) = U(k_x, x)$ . Elektronet i krystallen er ikke fritt, og beskrives likevel av én bølgevektor $k$ .
$\displaystyle v = \dfrac{1}{\hbar}\dfrac{dE}{dk}$ Bærerens hastighet er gruppehastigheten til bølgepakken, altså stigningstallet i $E(k)$ . På bunnen av båndet er $v = 0$ selv om $\hbar k \neq 0$ .

02 Effektiv masse

$\displaystyle F_\text{ytre} = \dfrac{d(\hbar k)}{dt}$ Akselerasjonsteoremet. Bare den ytre kraften står på høyresiden, for gitterkreftene ligger allerede inne i formen på $E(k)$ . Derfor er $\hbar k$ krystallmomentum og ikke elektronets ekte bevegelsesmengde.
$\displaystyle m^* = \dfrac{\hbar^2}{d^2E/dk^2}$ Effektiv masse fra krumningen til båndet. Med $m^*$ i Newtons lov holder $F = ma$ med bare den ytre kraften, siden gitterkreftene er pakket inn i tallet. Skarp krumning gir liten $m^*$ , flatt bånd gir stor. Negativ krumning på valensbåndtoppen er grunnen til at vi regner med hull der.
$\displaystyle E = E_c + \dfrac{\hbar^2 k^2}{2m^*}$ Parabolsk tilnærming nær et båndminimum. Så lenge båndet er parabolsk er $m^*$ konstant; høyere opp i båndet holder ikke tilnærmingen.

03 Elektroner og hull

$\displaystyle J = (-q)\sum_{i=1}^{N} v_i = 0 \quad\Longrightarrow\quad J = (-q)\sum_{i=1}^{N} v_i - (-q)v_j = +q\,v_j$ Et fullt bånd gir null strøm. Fjerner du elektron $j$ , blir summen $+qv_j$ , altså nøyaktig strømmen fra én positiv ladning med det manglende elektronets hastighet. Det er hullets opprinnelse.

04 Intrinsisk materiale

$\displaystyle r_i = a_r n_0 p_0 = g_i$ Likevekt er dynamisk: rekombinasjonsraten $r_i$ er proporsjonal med produktet $n_0p_0$ , fordi et elektron og et hull må møtes, og den balanserer generasjonsraten $g_i$ . Siden $g_i$ bare avhenger av temperaturen, er produktet låst: $n_0p_0 = n_i^2$ .

05 Doping

$\displaystyle E_d = 13{,}6\ \text{eV}\cdot\dfrac{m_n^*/m_0}{\varepsilon_r^2}, \qquad a^* = a_0\,\dfrac{\varepsilon_r}{m_n^*/m_0}$ Hydrogenatomets egne resultater med to bytter: lettere elektron ( $m_n^*$ ) og skjermet Coulomb-kraft ( $\varepsilon_r$ ). Med $a_0 = 0{,}529$ Å gir det $25$ meV og $24$ Å for Si. Anslaget ligger konsekvent under det målte, fordi elektronet nær kjernen verken ser full $\varepsilon_r$ eller én isotrop masse.

06 Fermi–Dirac-fordelingen

$\displaystyle f(E) = \dfrac{1}{1 + e^{(E - E_F)/k_BT}}$ Sannsynligheten for at en tillatt tilstand ved energi $E$ er okkupert ved termisk likevekt. $f(E_F) = \tfrac{1}{2}$ , og fordelingen er symmetrisk om nivået: $f(E_F + \Delta E) = 1 - f(E_F - \Delta E)$ . Ved 300 K er $k_BT = 0{,}0259$ eV.

07 Fra fordeling til konsentrasjon

$\displaystyle n_0 = N_c\, e^{-(E_c - E_F)/k_BT}, \qquad p_0 = N_v\, e^{-(E_F - E_v)/k_BT}$ Likevektskonsentrasjonene når $E_F$ ligger noen $k_BT$ fra båndkantene (Boltzmann-tilnærmingen). Avstanden fra $E_F$ til kanten står i eksponenten: 60 meV per tierpotens ved romtemperatur.
$\displaystyle N_c = 2\left(\dfrac{2\pi m_n^* k_BT}{h^2}\right)^{3/2}$ Effektiv tilstandstetthet: hele ledningsbåndet regnet som $N_c$ tilstander lagt på $E_c$ , slik at $n_0 = N_c f(E_c)$ . For Si ved 300 K er $N_c \approx 2{,}9 \times 10^{19}$ cm⁻³ og $N_v \approx 1{,}0 \times 10^{19}$ cm⁻³; begge vokser som $T^{3/2}$ .

08 Massevirkningsloven

$\displaystyle n_0 p_0 = n_i^2$ Ved termisk likevekt er produktet låst av materialet og temperaturen, uansett doping: dobler dopingen $n_0$ , halveres $p_0$ . Samme innhold som ratebalansen $r_i = a_r n_0 p_0 = g_i$ , siden generasjonen bare avhenger av temperaturen.
$\displaystyle n_i = \sqrt{N_c N_v}\; e^{-E_g/2k_BT}$ Intrinsisk konsentrasjon, med halve gapet i eksponenten fordi $E_F$ ligger nær midten av det. For Si ved 300 K er $n_i = 1{,}5 \times 10^{10}$ cm⁻³. Eksponenten dominerer temperaturavhengigheten; $T^{3/2}$ -faktorene fra $N_c$ og $N_v$ synes knapt ved siden av.
$\displaystyle n_0 = n_i\, e^{(E_F - E_i)/k_BT}, \qquad p_0 = n_i\, e^{(E_i - E_F)/k_BT}$ Likevektskonsentrasjonene målt fra det intrinsiske nivået $E_i$ . Står $E_F$ på $E_i$ , er $n_0 = p_0 = n_i$ , og avstanden $E_F - E_i$ forteller direkte hvor sterkt dopet materialet er.

09 Effektiv masse for tilstandstetthet

$\displaystyle (m_n^*)^{3/2} = 6\,(m_l\, m_t^2)^{1/2}$ Effektiv masse for tilstandstetthet i Si: geometrisk middel av krumningsmassene i én dal, ganget opp med de seks dalene. Med $m_l = 0{,}98\,m_0$ og $m_t = 0{,}19\,m_0$ gir det $m_n^* = 1{,}1\,m_0$ , tallet som hører hjemme i $N_c$ .

10 Kompensasjon og ladningsnøytralitet

$\displaystyle p_0 + N_d^+ = n_0 + N_a^-$ Ladningsnøytralitet: summen av positiv ladning (hull og ioniserte donorer) er lik summen av negativ (elektroner og ioniserte akseptorer). Sammen med $n_0 p_0 = n_i^2$ bestemmer kravet $n_0$ , $p_0$ og $E_F$ entydig.

11 Drift

$\displaystyle \langle v_x\rangle = -\dfrac{q\tau}{m_n^*}\,\mathcal{E}_x, \qquad \mu_n = \dfrac{q\tau}{m_n^*}$ Drifthastigheten følger av at feltets kraft balanseres av kollisjoner hver $\tau$ i gjennomsnitt. Mobiliteten $\mu_n$ er drifthastigheten per felt, i cm²/V·s, og er positiv for begge bærertypene. For Si ved 300 K er $\mu_n = 1350$ og $\mu_p = 480$ cm²/V·s i rent materiale.
$\displaystyle J = q\,(n\mu_n + p\mu_p)\,\mathcal{E} = \sigma\,\mathcal{E}, \qquad \rho = \dfrac{1}{\sigma}, \qquad R = \rho\,\dfrac{L}{wt}$ Ohms lov med ledningsevnen skrevet ut i bærerkonsentrasjoner og mobiliteter. Begge bærertypene gir strøm langs feltet, siden hullene beveger seg med feltet og elektronene mot. Resistiviteten $\rho$ er i Ω·cm, og staven med lengde $L$ og tverrsnitt $wt$ får resistansen $R$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{m_n^*} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{m_l} + \dfrac{2}{m_t}\right)$ Effektiv masse for ledningsevne i Si: massen står i nevneren i $\mu_n$ , så de tre retningene i en dal midles harmonisk. Med $m_l = 0{,}98\,m_0$ og $m_t = 0{,}19\,m_0$ gir det $0{,}26\,m_0$ , mot $1{,}1\,m_0$ for telling av tilstander. I GaAs er dalen kuleformet, og begge massene er $0{,}067\,m_0$ .

12 Spredning, temperatur og doping

$\displaystyle \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{\mu_\text{gitter}} + \dfrac{1}{\mu_\text{urenhet}}, \qquad \mu_\text{gitter} \sim T^{-3/2}, \quad \mu_\text{urenhet} \sim T^{3/2}$ Kollisjonssannsynlighetene legges sammen, så mobilitetene legges sammen invers, og den minste dominerer. Gitterspredning vokser med temperaturen, urenhetsspredning er sterkest for langsomme bærere i kaldt materiale. $10^{17}$ donorer per cm³ senker $\mu_n$ i Si fra 1350 til 700 cm²/V·s ved 300 K.

13 Hall-effekten

$\displaystyle \mathcal{E}_y = v_x\mathcal{B}_z = R_H\,J_x\mathcal{B}_z, \qquad R_H = \dfrac{1}{qp_0}, \qquad \mu_p = \dfrac{R_H}{\rho}$ Hall-feltet bygges opp til det opphever den magnetiske avbøyningen. Hall-koeffisienten gir konsentrasjonen direkte, fortegnet på Hall-spenningen gir bærertypen (negativt for elektroner), og sammen med resistiviteten gir den mobiliteten.

14 Fermi-nivået ved likevekt

$\displaystyle \dfrac{dE_F}{dx} = 0$ Fermi-nivået er konstant gjennom materialer i kontakt ved termisk likevekt. Raten $N_1 f_1 \cdot N_2(1 - f_2)$ fra 1 til 2 må være lik raten motsatt vei ved hver energi, og det krever $f_1 = f_2$ , altså $E_{F1} = E_{F2}$ .

15 Overskuddsbærere

$\displaystyle \delta n(t) = \Delta n\, e^{-t/\tau_n}, \qquad \tau_n = \dfrac{1}{a_r(n_0 + p_0)} \approx \dfrac{1}{a_r p_0}$ Overskuddet dør ut eksponentielt med levetiden til minoritetsbærerne, her elektroner i p-type materiale. Gjelder ved lav injeksjon, der $\delta n^2$ -leddet i rekombinasjonen $a_r np$ kan strykes. Majoriteten faller med samme rate, siden bærerne forsvinner parvis.

16 Kvasi-Fermi-nivåer

$\displaystyle \delta n = \delta p = g_\text{op}\,\tau_n$ Stasjonært overskudd under jevn belysning: den optiske generasjonsraten ganger levetiden. Da er $np \neq n_i^2$ , og likevektens $E_F$ må byttes ut med to nivåer.
$\displaystyle n = n_i\, e^{(F_n - E_i)/k_BT}, \qquad p = n_i\, e^{(E_i - F_p)/k_BT}$ Definisjonen av kvasi-Fermi-nivåene $F_n$ og $F_p$ : samme form som likevektsuttrykkene, med hvert sitt nivå. I likevekt er $F_n = F_p = E_F$ ; avstanden $F_n - F_p$ måler hvor langt materialet er fra likevekt. Minoritetsnivået flytter seg mest.

17 Diffusjon

$\displaystyle J_n^\text{diff} = +qD_n\dfrac{dn}{dx}, \qquad J_p^\text{diff} = -qD_p\dfrac{dp}{dx}$ Diffusjonsstrømmene, fra partikkelfluksen $\phi = -D\,dn/dx$ ganger ladningen. Elektroner og hull i samme gradient beveger seg samme vei, men strømmene går motsatt, siden ladningene har ulikt fortegn. $D$ har enhet cm²/s; for Si er $D_n = 35$ og $D_p = 12{,}5$ .
$\displaystyle \begin{aligned} J_n &= q\mu_n n\,\mathcal{E} + qD_n\dfrac{dn}{dx} \\ J_p &= q\mu_p p\,\mathcal{E} - qD_p\dfrac{dp}{dx} \end{aligned}$ Hele strømmen for hver bærertype: et driftledd proporsjonalt med konsentrasjonen og et diffusjonsledd proporsjonalt med gradienten. Minoritetsbærerne bidrar lite til drift, men gradienten kan være stor, så minoritetsstrøm er nesten alltid diffusjon. $J = J_n + J_p$ .
$\displaystyle \mathcal{E}(x) = \dfrac{1}{q}\dfrac{dE_i}{dx}$ Et felt tegnes som skrå bånd. Elektronets potensielle energi øker langs feltet, så båndene stiger i feltretningen, og stigningen er feltet. Elektroner driver nedover i skjemaet, hull oppover, og $\mathcal{E}$ peker oppoverbakke.

18 Einstein-relasjonen

$\displaystyle \dfrac{D}{\mu} = \dfrac{k_BT}{q}$ Einstein-relasjonen, fra kravet om null strøm i likevekt med $dE_F/dx = 0$ . Forholdet er $0{,}0259$ V ved romtemperatur, uansett bærertype og materiale, så måler du den ene av $D$ og $\mu$ , har du den andre.

19 Kontinuitetsligningen

$\displaystyle \dfrac{\partial\,\delta p}{\partial t} = -\dfrac{1}{q}\dfrac{\partial J_p}{\partial x} - \dfrac{\delta p}{\tau_p}, \qquad \dfrac{\partial\,\delta n}{\partial t} = +\dfrac{1}{q}\dfrac{\partial J_n}{\partial x} - \dfrac{\delta n}{\tau_n}$ Kontinuitetsligningen: konsentrasjonen i en skive øker med nettoinnstrømmen av partikler og minker med rekombinasjonen. Fortegnet på strømleddet følger ladningen.
$\displaystyle \dfrac{\partial\,\delta n}{\partial t} = D_n\dfrac{\partial^2\,\delta n}{\partial x^2} - \dfrac{\delta n}{\tau_n}$ Diffusjonsligningen: kontinuitetsligningen med ren diffusjonsstrøm satt inn. Krumningen i profilen jevner den ut, levetiden tømmer den. Tilsvarende for hull med $D_p$ og $\tau_p$ .

20 Stasjonær injeksjon og diffusjonslengde

$\displaystyle \delta p(x) = \Delta p\, e^{-x/L_p}, \qquad L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$ Stasjonær injeksjon i en lang stav: overskuddet faller eksponentielt med diffusjonslengden $L_p$ , som er avstanden der det har falt til $1/e$ og gjennomsnittsavstanden et hull diffunderer før det rekombinerer. For Si med $D_p = 12{,}5$ cm²/s og $\tau_p = 1$ µs er $L_p = 35$ µm.
$\displaystyle \begin{aligned} J_p(x) &= q\dfrac{D_p}{L_p}\,\delta p(x) \\ Q_p &= qA\,\Delta p\,L_p \end{aligned}$ Diffusjonsstrømmen fra en eksponentiell profil er proporsjonal med overskuddet i hvert punkt, og ladningen som er lagret i staven, er arealet under profilen. Begge brukes på minoritetsbærerne som sprøytes inn over en pn-overgang.

21 Haynes–Shockley-eksperimentet

$\displaystyle \begin{aligned} \mu_p &= \dfrac{L}{t_d\,\mathcal{E}}, \qquad D_p = \dfrac{(\Delta x)^2}{16\,t_d} \\ \Delta x &= \dfrac{L}{t_d}\,\Delta t \end{aligned}$ Haynes–Shockley: en hullpuls driver avstanden $L$ på tiden $t_d$ i feltet $\mathcal{E}$ , og drifttiden gir minoritetsmobiliteten. Pulsen er gaussisk, $\delta p \propto e^{-x^2/4D_pt}$ , så bredden $\Delta x$ mellom $1/e$ -punktene gir $D_p$ . Oscilloskopet måler bredden i tid, $\Delta t$ , og driftfarten regner den om.

22 Likevekt: kontaktpotensialet

$\displaystyle \begin{aligned} V_0 &= \dfrac{k_BT}{q}\ln\dfrac{p_p}{p_n} \\ &= \dfrac{k_BT}{q}\ln\dfrac{N_aN_d}{n_i^2} \end{aligned}$ Kontaktpotensialet over romladningssonen i likevekt, fra kravet om null hullstrøm og Einstein-relasjonen. Det vokser bare logaritmisk med dopingen: mellom 0,6 og 0,9 V for Si ved 300 K. Det er en likevektsstørrelse og driver ingen strøm; et voltmeter over dioden viser null.
$\displaystyle \dfrac{p_p}{p_n} = \dfrac{n_n}{n_p} = e^{qV_0/k_BT}$ Forholdet mellom konsentrasjonene på de to sidene av overgangen, samme ligning som $V_0$ snudd om. Den andre likheten følger av $p_pn_p = p_nn_n = n_i^2$ . Det er denne formen som brukes når strømmen gjennom overgangen skal regnes ut.

23 Båndskjemaet

$\displaystyle \begin{aligned} qV_0 &= E_{vp} - E_{vn} \\ &= (E_{ip} - E_F) \\ &\quad + (E_F - E_{in}) \end{aligned}$ Båndene på p-siden ligger $qV_0$ over båndene på n-siden, fordi Fermi-nivået er flatt i likevekt. Tegn hver side for seg med sitt $E_F$ , skyv dem loddrett til nivåene faller sammen, og les $qV_0$ som summen av avstandene fra $E_i$ til $E_F$ på de to sidene.

24 Romladningen

$\displaystyle qA\,x_{p0}N_a = qA\,x_{n0}N_d$ Ladningen i romladningssonen er like stor på begge sider, siden feltlinjene starter på ionene på n-siden og ender på ionene på p-siden. Den lett dopede siden må avdekke en tykkere skive for samme ladning, så sonen ligger mest der.
$\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{d\mathcal{E}}{dx} &= \dfrac{q}{\varepsilon}\,(p - n + N_d^+ - N_a^-) \\ &\approx \pm\dfrac{q}{\varepsilon}N_{d,a} \end{aligned}$ Poissons ligning i utarmingstilnærmingen: inne i sonen er bærerne strøket, og ladningen er $+qN_d$ for $0 < x < x_{n0}$ og $-qN_a$ for $-x_{p0} < x < 0$ . Feltet blir en trekant som er null ved begge kantene og negativ i hele sonen, siden det peker fra n mot p.
$\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{E}_0 &= -\dfrac{q}{\varepsilon}N_d\,x_{n0} = -\dfrac{q}{\varepsilon}N_a\,x_{p0} \\ V_0 &= -\tfrac{1}{2}\mathcal{E}_0 W \end{aligned}$ Det største feltet står ved skillet $x = 0$ , der alle feltlinjene passerer, og kontaktpotensialet er arealet av felttrekanten. Med $V_0 = 0{,}8$ V og $W = 0{,}46$ µm er $\mathcal{E}_0 = -3{,}5 \times 10^4$ V/cm.
$\displaystyle \begin{aligned} W^2 &= \dfrac{2\varepsilon(V_0 - V)}{q}\Big(\tfrac{1}{N_a} + \tfrac{1}{N_d}\Big) \\ x_{p0} &= \dfrac{W}{1 + N_a/N_d} \\ x_{n0} &= \dfrac{W}{1 + N_d/N_a} \end{aligned}$ Bredden på romladningssonen, fra felttrekanten og ladningsbalansen. Den lettest dopede siden setter bredden, og den vokser som roten av spenningen over sonen: $V_0$ i likevekt, $V_0 - V$ med forspenning, så sonen krymper i lederetningen og vokser i sperreretningen. For Si er den typisk noen tideler av en mikrometer.

25 Forspenning

$\displaystyle \begin{aligned} I &= I_0\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \\ I_0 &= |I_\text{gen}| \end{aligned}$ Strømmen gjennom overgangen, positiv fra p til n. Diffusjonsstrømmen over barrieren er likevektsverdien ganger $e^{qV/k_BT}$ ; generasjonsstrømmen av minoritetsbærere er uavhengig av $V$ , og de to er like store i likevekt. I lederetningen vokser strømmen eksponentielt, i sperreretningen er den $-I_0$ , metningsstrømmen, uansett spenning.

26 Injeksjon av minoritetsbærere

$\displaystyle \begin{aligned} \Delta p_n &= p_n\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \\ \Delta n_p &= n_p\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \end{aligned}$ Overskuddet av minoritetsbærere ved kantene av romladningssonen, fra $p(x_{n0})/p_n = e^{qV/k_BT}$ ved lav injeksjon. Vokser eksponentielt i lederetningen; i sperreretningen med $V_r \gg k_BT/q$ er $\Delta p_n \approx -p_n$ og $\Delta n_p \approx -n_p$ , så kantene er tømt for minoritetsbærere.
$\displaystyle \begin{aligned} \delta p(x_n) &= \Delta p_n\, e^{-x_n/L_p} \\ \delta n(x_p) &= \Delta n_p\, e^{-x_p/L_n} \end{aligned}$ Profilene av injiserte minoritetsbærere i lange nøytrale områder, med $x_n$ målt fra $x_{n0}$ innover i n-siden og $x_p$ fra $-x_{p0}$ innover i p-siden. Samme løsning som for injeksjon i enden av en stav, med overskuddet ved kanten satt av spenningen.
$\displaystyle pn = n_i^2\, e^{(F_n - F_p)/k_BT} = n_i^2\, e^{qV/k_BT}$ Inne i romladningssonen ligger kvasi-Fermi-nivåene $qV$ fra hverandre. Utenfor er det minoritetsnivået som flytter seg, lineært med avstanden, til det møter $E_F$ etter mange diffusjonslengder. I sperreretningen er $pn \approx 0$ i sonen.

27 Diodeligningen

$\displaystyle I_0 = qA\left(\dfrac{D_p}{L_p}\,p_n + \dfrac{D_n}{L_n}\,n_p\right)$ Metningsstrømmen i $I = I_0(e^{qV/k_BT} - 1)$ : diffusjonsstrømmene ved de to sonekantene lagt sammen, uten rekombinasjon i sonen. Med $p_n = n_i^2/N_d$ og $n_p = n_i^2/N_a$ er det den lett dopede siden som teller; i en p⁺n-overgang er strømmen nesten bare hull injisert i n-siden.

28 Ladningskontroll

$\displaystyle \begin{aligned} Q_p &= qA\,L_p\,\Delta p_n \\ I_p(x_n = 0) &= \dfrac{Q_p}{\tau_p} = qA\dfrac{D_p}{L_p}\,\Delta p_n \end{aligned}$ Ladningen som er lagret i minoritetsprofilen, er arealet under den, og strømmen inn må fylle den på hvert $\tau_p$ sekund. Samme svar som fra gradienten, siden $L_p/\tau_p = D_p/L_p$ . Tilsvarende $Q_n = qA\,L_n\,\Delta n_p$ på p-siden.

29 Strømkomponentene langs dioden

$\displaystyle \begin{aligned} I_p(x_n) &= qA\dfrac{D_p}{L_p}\,\delta p(x_n) \\ I_n(x_n) &= I - I_p(x_n) \end{aligned}$ Den samlede strømmen er den samme i hvert tverrsnitt. Minoritetsstrømmen er proporsjonal med overskuddet og dør ut som $e^{-x_n/L_p}$ fra sonen, så majoritetsbærerne tar over: elektronene på n-siden erstatter dem som rekombinerer med de injiserte hullene, og leverer dem som injiseres inn i p-siden.

30 Skredgjennombrudd

$\displaystyle \begin{aligned} M &= \dfrac{n_\text{ut}}{n_\text{in}} = \dfrac{1}{1 - P} \\ &= 1 + P + P^2 + \cdots \\ M &= \dfrac{1}{1 - (V/V_\text{br})^n} \end{aligned}$ Multiplikasjonen i skredgjennombrudd, med $P$ som sannsynligheten for en ioniserende kollisjon per tur gjennom sonen. Den nederste er den målte formen nær gjennombrudd, med $n$ mellom 3 og 6 etter materialet. $V_\text{br}$ vokser med båndgapet og faller med dopingen på den lett dopede siden.

31 Lagret ladning og tid

$\displaystyle i(t) = \dfrac{Q_p(t)}{\tau_p} + \dfrac{dQ_p(t)}{dt}$ Strømmen inn i n-siden av en p⁺n-overgang i en transient: den erstatter hullene som rekombinerer, og bygger opp eller tømmer den lagrede ladningen. Kontinuitetsligningen integrert over n-siden. I stasjonær tilstand står ladningskontroll igjen.

32 Når strømmen slås av

$\displaystyle Q_p(t) = I\tau_p\,e^{-t/\tau_p}$ Strømmen $I$ slås av ved $t = 0$ , og den lagrede ladningen dør ut med levetiden. Så lenge den er der, ligger det en spenning over overgangen.
$\displaystyle v(t) = \tfrac{k_BT}{q}\ln\bigl(\tfrac{I\tau_p}{qAL_pp_n}e^{-t/\tau_p} + 1\bigr)$ Spenningen over overgangen etter at strømmen er slått av, fra den kvasistasjonære tilnærmingen $Q_p = qAL_p\Delta p_n$ . Den er logaritmen av ladningen, så den faller bare omtrent $k_BT/q$ per levetid.

33 Lagringstid

$\displaystyle t_{sd} = \tau_p\left[\operatorname{erf}^{-1}\!\left(\dfrac{I_f}{I_f + I_r}\right)\right]^2$ Lagringstiden etter omslag fra $I_f$ i lederetningen til $-I_r$ : så lenge er overskuddet ved sonekanten positivt, spenningen over overgangen liten og sperrestrømmen satt av kretsen. Eksakt løsning av diffusjonsligningen. Med $I_r = I_f$ er $t_{sd} = 0{,}23\,\tau_p$ . Snudd gir den levetiden fra en måling av $t_{sd}$ .
$\displaystyle Q_p(t) = -I_r\tau_p \allowbreak + (I_f + I_r)\,\tau_p\,e^{-t/\tau_p} \allowbreak\quad t_{sd} = \tau_p\ln\!\left(1 + \dfrac{I_f}{I_r}\right)$ Ladningen etter omslaget er eksakt. Lagringstiden til høyre er den kvasistasjonære tilnærmingen, der $\Delta p_n = 0$ først når $Q_p = 0$ . Den er for lang, tre ganger for lang med $I_r = I_f$ , fordi kanten i virkeligheten tømmes mens det ligger ladning lenger inne.

34 Overgangskapasitansen

$\displaystyle C_j = \dfrac{A}{2}\left[\dfrac{2q\varepsilon}{V_0 - V}\,\dfrac{N_dN_a}{N_d + N_a}\right]^{1/2} \allowbreak = \dfrac{\varepsilon A}{W}$ Kapasitansen $C_j = |dQ/d(V_0 - V)|$ fra ionene i romladningssonen. Samme form som en platekondensator med avstanden $W$ , men $W$ vokser med sperrespenningen. Dominerer i sperreretningen. Går som $V_r^{-1/2}$ i en abrupt overgang og $V_r^{-1/3}$ i en gradvis med lineær nettodoping.
$\displaystyle C_j = \dfrac{A}{2}\left[\dfrac{2q\varepsilon N_d}{V_0 - V}\right]^{1/2}$ Overgangskapasitansen i en p⁺n-overgang, der sonen ligger nesten bare på n-siden. Målt ved en sperrespenning som er stor mot $V_0$ , og med kjent areal, gir den dopingen $N_d$ .

35 Diffusjonskapasitansen

$\displaystyle C_s = \dfrac{1}{3}\dfrac{q^2}{k_BT}\,Acp_n\,e^{qV/k_BT}$ Diffusjonskapasitansen fra hullene i en kort diode med n-siden $c$ lang, der to tredjedeler av den lagrede ladningen kan hentes ut igjen; en lang diode har ingen. Dominerer i lederetningen. Elektronene på p-siden gir et tilsvarende bidrag.
$\displaystyle G_s = \dfrac{dI}{dV} = \dfrac{q}{k_BT}\,I$ Småsignalkonduktansen til en lang diode i lederetningen: hvor mye strømmen endrer seg for en liten endring i spenningen rundt arbeidspunktet. Ved 1 mA er $1/G_s = 26$ Ω.

36 Båndgapet og høy injeksjon

$\displaystyle I = qA\dfrac{D_p}{L_p}\,N_v\,e^{[qV - (E_F - E_{vn})]/k_BT}$ Diodeligningen for en p⁺n-overgang i lederetningen med $p_n$ skrevet ut. Strømmen er liten til $qV$ nærmer seg $E_F - E_{vn} \approx qV_0$ , som er nær $E_g$ når begge sidene er sterkt dopet. Spenningen over overgangen kan ikke bli større enn $V_0$ .
$\displaystyle \Delta n_p = n_i\,e^{qV/2k_BT} \allowbreak\quad I \propto e^{qV/2k_BT}$ Høy injeksjon: overskuddet er større enn majoritetskonsentrasjonen, så $pn = n_i^2e^{qV/k_BT}$ ved sonekanten gir $\Delta n_p^2 = n_i^2e^{qV/k_BT}$ . Strømmen vokser med halve eksponenten.

37 Rekombinasjon og generasjon i sonen

$\displaystyle I = I_0'\left(e^{qV/nk_BT} - 1\right)$ Diodeligningen med idealitetsfaktoren $n$ , som ikke er elektronkonsentrasjonen. Diffusjon fra de nøytrale områdene går som $n_i^2e^{qV/k_BT}$ og gir $n = 1$ ; rekombinasjon i sonen går som $n_ie^{qV/2k_BT}$ og gir $n \approx 2$ . I Si går $n$ fra omtrent 2 ved lav spenning til 1.

38 Seriemotstand og gradvise overganger

$\displaystyle V = V_a - I\,(R_p + R_n)$ Spenningen over overgangen når de nøytrale områdene tar sin del av spenningen $V_a$ over komponenten. Merkes ved store strømmer, der strømmen vokser saktere enn eksponentielt. Motstandene synker når de injiserte bærerne øker ledningsevnen.