Drift og Hall-effekten

Drift

Bærerne står aldri stille. Ved romtemperatur farer et elektron omkring med rundt $10^7$ cm/s og skifter retning hver gang det spres mot en gittervibrasjon, en urenhet eller en defekt. Retningene er tilfeldige, så gruppen av elektroner har ingen netto bevegelse, og strømmen er null.

Et elektrisk felt $\mathcal{E}_x$ legger en liten, felles komponent oppå den tilfeldige bevegelsen, og kollisjonene bremser den. I stasjonær tilstand balanserer de to.

Fra kollisjoner til mobilitet

La $\tau$ være midlere tid mellom kollisjoner. Sannsynligheten for at et gitt elektron kolliderer i løpet av $dt$ er $dt/\tau$ , og en kollisjon nullstiller i gjennomsnitt den bevegelsesmengden elektronet hadde fått av feltet. For $n$ elektroner per volum med samlet bevegelsesmengde $p_x$ er tapet derfor $p_x/\tau$ per tid, mens feltet tilfører $-nq\mathcal{E}_x$ :

-\frac{p_x}{\tau} - nq\,\mathcal{E}_x = 0

Del på $n$ for å få bevegelsesmengden per elektron, og på $m_n^*$ for å få hastigheten:

\langle v_x\rangle = -\frac{q\tau}{m_n^*}\,\mathcal{E}_x

Faktoren foran feltet er mobiliteten, $\mu_n = q\tau/m_n^*$ .

Strømtettheten er ladning ganger antall ganger hastighet, og med begge bærertypene:

J_x = q\,(n\mu_n + p\mu_p)\,\mathcal{E}_x = \sigma\,\mathcal{E}_x

Det er Ohms lov med ledningsevnen $\sigma$ skrevet ut, og resistiviteten er $\rho = 1/\sigma$ . Begge bærertypene gir strøm langs feltet: hullene beveger seg med feltet, elektronene mot, og fortegnet på ladningen snur bidraget. En stav med lengde $L$ og tverrsnitt $wt$ får resistansen $R = \rho L/wt$ , som står i Formelsamlingen. Siden $p_0 = n_i^2/n_0$ , har $\sigma$ som funksjon av dopingen et minimum, og det ligger litt på p-siden av intrinsisk, fordi hullene har den laveste mobiliteten.

For Si er $\mu_n = 1350$ og $\mu_p = 480$ cm²/V·s ved 300 K i rent materiale. Ved 100 V/cm driver elektronene med $1{,}35 \times 10^5$ cm/s, omtrent én prosent av den termiske farten, og $\tau = \mu_n m_n^*/q$ er rundt $0{,}2$ ps.

Massen i $\mu_n$ er ikke tellemassen fra $N_c$ . Til transport teller det hvor lett bæreren akselererer, og for de seks dalene i Si blir det et harmonisk middel av krumningsmassene, $\dfrac{1}{m_n^*} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{m_l} + \dfrac{2}{m_t}\right)$ , som gir $0{,}26\,m_0$ . Lett masse gir høy mobilitet: i GaAs er $m_n^* = 0{,}067\,m_0$ og $\mu_n = 8500$ cm²/V·s.

Spredning, temperatur og doping

To mekanismer sprer bærerne. Gitterspredning er kollisjoner med gittervibrasjoner, og den øker med temperaturen, omtrent som $T^{-3/2}$ i mobiliteten. Urenhetsspredning er avbøyning i Coulomb-feltet fra ioniserte dopanter, og den er sterkest når bærerne beveger seg sakte, så den gir en mobilitet som vokser omtrent som $T^{3/2}$ . Sannsynlighetene for kollisjon legges sammen, så mobilitetene legges sammen invers, og den minste dominerer:

\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_\text{gitter}} + \frac{1}{\mu_\text{urenhet}}

Regelen står i Formelsamlingen.

Ved romtemperatur er rent Si gitterbegrenset. Doper du inn $10^{17}$ donorer per cm³, faller $\mu_n$ fra 1350 til 700 cm²/V·s, så ledningsevnen vokser langsommere enn dopingen.

Mobiliteten mot temperaturen

Velg dopingen. Gitterspredning begrenser mobiliteten på den varme siden, urenhetsspredning på den kalde, og toppen ligger der de to er like sterke. Mer doping trekker toppen ned og mot høyere temperatur. Boka tegner de samme kurvene på logaritmiske akser, der hver mekanisme blir en rett linje.

Ohms lov gjelder så lenge drifthastigheten er liten mot den termiske. Over omtrent $10^3$ V/cm bøyer $v_d$ av, og i Si flater den ut ved $v_s \approx 10^7$ cm/s: energien feltet tilfører går til gitteret i stedet for til mer fart, og strømmen blir nesten uavhengig av feltet.

Hall-effekten

Legg et magnetfelt $\mathcal{B}_z$ på tvers av en p-type stav med strøm langs $x$ . Kraften på et hull er $q(\mathcal{E} + v \times \mathcal{B})$ , med $y$ -komponent $q(\mathcal{E}_y - v_x\mathcal{B}_z)$ . Hullene bøyes av mot $-y$ til ladningen på kanten har bygd opp et felt $\mathcal{E}_y = v_x\mathcal{B}_z$ som opphever avbøyningen. Med $v_x = J_x/qp_0$ :

\mathcal{E}_y = \frac{J_x\mathcal{B}_z}{qp_0} = R_H\,J_x\mathcal{B}_z, \qquad R_H = \frac{1}{qp_0}

Hall-koeffisienten $R_H$ måles som $V_{AB}/w$ delt på $J_x\mathcal{B}_z$ , og gir konsentrasjonen direkte. For elektroner bytter $q$ fortegn, så Hall-spenningen er negativ i n-type, og fortegnet er den vanlige måten å bestemme bærertypen på. Måler du i tillegg resistansen, får du $\rho$ , og siden $\sigma = q\mu_p p_0$ , er $\mu_p = R_H/\rho$ . Ligger kontaktene A og B litt forskjøvet langs staven, inneholder $V_{AB}$ også et resistivt spenningsfall; snu $\mathcal{B}$ , så bytter bare Hall-delen fortegn, og halve differansen er Hall-spenningen. Halve summen er spenningsfallet over forskyvningen, og med $R = \rho L/wt$ for den lengden gir det resistiviteten uten en egen resistansmåling.

Hall-måling på en stav

Staven sett ovenfra, med strømmen langs $x$ . Slå feltet av og på, eller snu det, og bærerne bøyes mot én kant til ladningen der har bygd opp Hall-feltet som retter dem opp igjen: de går rett fram, men står tettere på den kanten. Begge typene samler seg på samme kant, men ladningen der har bærerens fortegn, og det gir $V_{AB}$ fortegn. Den bleke viseren er avlesningen med feltet snudd. Forskyv kontakt B langs strømmen, og begge avlesningene flytter seg like mye samme vei: midtpunktet er spenningsfallet over forskyvningen, og halve avstanden er Hall-spenningen. Prøven er 500 µm bred og 20 µm tykk med $2 \times 10^{17}$ bærere per cm³, 3 mA og 1 T; forskyvningen er overdrevet i tegningen.

Regneeksempel hva forteller Hall-målingen?

En stav med $w = 0{,}1$ mm, $t = 10$ µm og $L = 5$ mm står i $\mathcal{B}_z = 1$ T. Med $I_x = 1$ mA måles $V_{AB} = -2$ mV på tvers og $V_{CD} = 100$ mV langs staven. Finn type, konsentrasjon og mobilitet for majoritetsbærerne.

Vis løsning Skjul løsning

Negativ $V_{AB}$ betyr at bærerne er elektroner: n-type.

Hall-feltet er $\mathcal{E}_y = R_H J_x\mathcal{B}_z$ , og for elektroner er $R_H = -1/qn_0$ , så $|\mathcal{E}_y| = J_x\mathcal{B}_z/qn_0$ . Målingen gir ikke felt og strømtetthet, men spenning og strøm: feltet på tvers er $|\mathcal{E}_y| = |V_{AB}|/w$ over bredden, og strømtettheten er $J_x = I_x/wt$ gjennom tverrsnittet. Sett inn og løs for $n_0$ :

\begin{aligned} \frac{|V_{AB}|}{w} &= \frac{I_x\mathcal{B}_z}{qn_0\,wt} \\ n_0 &= \frac{I_x\mathcal{B}_z}{qt\,|V_{AB}|} \end{aligned}

Bredden faller bort, så bare tykkelsen må være kjent. I SI-enheter:

\begin{aligned} n_0 &= \frac{10^{-3} \cdot 1}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{-5} \cdot 2 \cdot 10^{-3}} \\ &= 3{,}1 \cdot 10^{23}\ \text{m}^{-3} \\ &= 3{,}1 \cdot 10^{17}\ \text{cm}^{-3} \end{aligned}

Spenningen langs staven gir resistansen over lengden $L$ : $R = V_{CD}/I_x = 100$ Ω. Resistansen til en stav er $R = \rho L/wt$ , så

\begin{aligned} \rho &= R\,\frac{wt}{L} \\ &= 100\ \Omega \cdot \frac{0{,}01\ \text{cm} \cdot 10^{-3}\ \text{cm}}{0{,}5\ \text{cm}} \\ &= 2 \cdot 10^{-3}\ \Omega\cdot\text{cm} \end{aligned}

Med bare elektroner er ledningsevnen $\sigma = q\mu_n n_0$ , og $\sigma = 1/\rho$ , så $\mu_n = 1/qn_0\rho$ , som er det samme som $|R_H|/\rho$ . Med $qn_0 = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 3{,}1 \cdot 10^{17} = 0{,}05$ C/cm³:

\begin{aligned} \mu_n &= \frac{1}{q n_0 \rho} \\ &= \frac{1}{0{,}05 \cdot 2 \cdot 10^{-3}} \\ &= 10^{4}\ \text{cm}^2/\text{V·s} \end{aligned}

Svar

n-type med

n_0 = 3{,}1 \times 10^{17}

cm⁻³ og

\mu_n = 10^4

cm²/V·s.

Fermi-nivået ved likevekt

Sett to materialer i kontakt slik at elektroner kan gå mellom dem. En overgang ved energien $E$ krever et elektron i 1 og en ledig tilstand i 2 ved samme energi, så raten fra 1 til 2 er proporsjonal med fylte tilstander i 1 ganger tomme i 2, $N_1 f_1 \cdot N_2(1 - f_2)$ , og raten motsatt vei er $N_2 f_2 \cdot N_1(1 - f_1)$ . I likevekt går det verken netto ladning eller netto energi mellom dem, så ratene må være like ved hver energi for seg. Gang ut, og alt annet enn $f_1 = f_2$ faller bort. Fordelingene er like ved alle energier bare når $E_{F1} = E_{F2}$ .