Metall–halvleder-overganger og heterooverganger

Arbeidsfunksjon og elektronaffinitet

Arbeidsfunksjonen $q\Phi_m$ til et metall er energien som skal til for å flytte et elektron fra Fermi-nivået og ut i vakuum like utenfor overflaten. For rene overflater er $\Phi_m$ omtrent 4,3 V for Al og 4,8 V for Au. En halvleder har også en arbeidsfunksjon $q\Phi_s$ , men den avhenger av dopingen, fordi Fermi-nivået flytter seg i gapet. Det som ligger fast for materialet, er elektronaffiniteten $q\chi$ , avstanden fra ledningsbåndkanten opp til vakuumnivået:

q\Phi_s = q\chi + (E_c - E_F)

For Si er $q\chi = 4{,}05$ eV.

Når metallet og halvlederen kommer i kontakt, går det elektroner fra materialet med høyest Fermi-nivå, altså minst arbeidsfunksjon, over i det andre, til Fermi-nivåene ligger likt. Metallet har så mange frie elektroner at ladningen der ligger i et tynt lag på overflaten, mens ladningen i halvlederen bøyer båndene over en avstand. Tømmes halvlederen for majoritetsbærere nær grenseflaten, likeretter kontakten. Samles majoritetsbærerne der, er kontakten ohmsk.

Schottky-kontakten

Legg et metall med $\Phi_m > \Phi_s$ på n-type halvleder. Før kontakt ligger Fermi-nivået høyest i halvlederen, så elektroner går over i metallet. Nær grenseflaten blir det igjen donorioner uten elektroner, og de danner en romladningssone med bredden $W$ og positiv ladning, som balanserer den negative ladningen på metalloverflaten. Sonen ligger bare i halvlederen, som på n-siden av en p⁺n-overgang, så i sonebredden står bare $N_d$ igjen:

W = \left[\frac{2\varepsilon(V_0 - V)}{qN_d}\right]^{1/2}

Kapasitansen er $C_j = \varepsilon A/W$ , som i p⁺n-overgangen.

Kontaktpotensialet $V_0$ er forskjellen i arbeidsfunksjon, og det holder elektronene i halvlederen tilbake. Elektronene i metallet har en annen barriere, fra Fermi-nivået i metallet opp til ledningsbåndkanten ved grenseflaten. Vakuumnivået er kontinuerlig over grenseflaten. Ledningsbåndkanten ligger $q\chi$ under det og Fermi-nivået i metallet $q\Phi_m$ under det, så barrierehøyden er forskjellen:

\begin{aligned} V_0 &= \Phi_m - \Phi_s \\ \Phi_B &= \Phi_m - \chi \end{aligned}

På p-type er det motsatt. Der kreves $\Phi_m < \Phi_s$ . Elektroner går fra metallet inn i halvlederen og fyller akseptorer nær grenseflaten, og sonen blir negativt ladet. Barrieren $V_0 = \Phi_s - \Phi_m$ holder hullene i valensbåndet tilbake. Båndene bøyer seg ned mot metallet, og det er en barriere for hullene, fordi hullenes energi øker nedover i båndskjemaet.

Navnet kommer fra Schottky-effekten, der bildeladningen et elektron lager i metallet, senker arbeidsfunksjonen litt når det står et felt på overflaten.

Regneeksempel gull på n-type Si

Au med $\Phi_m = 4{,}8$ V legges på n-type Si med $N_d = 10^{16}$ cm⁻³ ved 300 K. Finn kontaktpotensialet, barrierehøyden og bredden av romladningssonen i likevekt, og de to barrierene når kontakten har 0,3 V i lederetningen.

Vis løsning Skjul løsning

Fermi-nivået i halvlederen, med $N_c = 2{,}9 \times 10^{19}$ cm⁻³:

E_c - E_F = k_BT\ln\frac{N_c}{N_d} \allowbreak = 0{,}0259\ \text{eV} \cdot \ln 2900 \allowbreak = 0{,}21\ \text{eV}

Arbeidsfunksjonen til halvlederen, kontaktpotensialet og barrierehøyden:

\begin{aligned} q\Phi_s &= 4{,}05 + 0{,}21 = 4{,}26\ \text{eV} \\ V_0 &= 4{,}8 - 4{,}26 = 0{,}54\ \text{V} \\ \Phi_B &= 4{,}8 - 4{,}05 = 0{,}75\ \text{V} \end{aligned}

Sonebredden, med $\varepsilon = 1{,}044 \times 10^{-12}$ F/cm:

W^2 = \frac{2\varepsilon V_0}{qN_d} \allowbreak = \frac{2{,}088 \times 10^{-12} \cdot 0{,}54}{1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 10^{16}} \allowbreak = 7{,}05 \times 10^{-10}\ \text{cm}^2

så $W = 2{,}7 \times 10^{-5}$ cm, altså 0,27 µm.

Med $V = 0{,}3$ V er barrieren fra halvledersiden $q(V_0 - V) = 0{,}24$ eV. Barrieren fra metallet er fortsatt $q\Phi_B$ .

Svar

$V_0 = 0{,}54$ V, $\Phi_B = 0{,}75$ V og $W = 0{,}27$ µm. Med 0,3 V i lederetningen må elektronene i halvlederen over 0,24 eV, mens elektronene i metallet fortsatt må over 0,75 eV.

Strømmen over barrieren

I lederetningen er metallet positivt mot n-type halvleder. Spenningen $V$ senker barrieren fra halvledersiden til $q(V_0 - V)$ , elektronene i ledningsbåndet diffunderer over sonen og inn i metallet, og det går en strøm fra metallet til halvlederen. I sperreretningen øker barrieren til $q(V_0 + V_r)$ , og nesten ingen elektroner kommer over fra halvlederen.

Barrieren $q\Phi_B$ for elektronene i metallet er satt av $\Phi_m$ og $\chi$ og endres ikke med spenningen. Strømmen av elektroner fra metallet er derfor den samme uansett $V$ . I likevekt er den like stor som strømmen fra halvledersiden, og i sperreretningen er den alt som er igjen. Diodeligningen får samme form som for pn-overgangen,

\begin{aligned} I &= I_0\left(e^{qV/k_BT} - 1\right) \\ I_0 &\propto e^{-q\Phi_B/k_BT} \end{aligned}

men $I_0$ kan ikke utledes like enkelt. Andelen av elektronene i metallet som har energi nok til å komme over $\Phi_B$ , er en Boltzmann-faktor, og den setter $I_0$ . En full behandling gir samme regning som for termionisk emisjon av elektroner fra en varm metalloverflate:

I = ABT^2\,e^{-q\Phi_B/k_BT}\,e^{qV/nk_BT}

der $B$ er en konstant for overgangen, en effektiv Richardson-konstant, og idealitetsfaktoren $n$ ligger mellom 1 og 2, av andre grunner enn i pn-overgangen.

Likheten med p⁺n-overgangen gjelder sonen, ikke strømmen. I en p⁺n-overgang er strømmen i lederetningen hull som injiseres i n-siden og lagres der. I Schottky-kontakten er det elektronene fra halvlederen som går over i metallet, altså majoritetsbærere. Det injiseres ingen minoritetsbærere, så det lagres ingen ladning, og det er ingen lagringstid. Ved store strømmer injiseres det noen hull, men i hovedsak er det majoritetsbærerne som fører strømmen. En Schottky-diode slår derfor raskere om og virker ved høyere frekvenser enn en vanlig pn-diode. Kontakten lages ved å legge en metallfilm på en ren halvlederoverflate og mønstre den med fotolitografi, og det krever færre maskesteg enn en pn-overgang. Det gjør Schottky-dioder nyttige i tette integrerte kretser.

Schottky-kontakt eller ohmsk kontakt

Metall til venstre og n-type Si til høyre, med ladningen øverst, båndskjemaet i midten og strømmen nederst. Vakuumnivået ligger egentlig mye høyere enn tegnet. Spenningen hever eller senker barrieren $q(V_0 - V)$ fra halvledersiden, mens $q\Phi_B$ fra metallet ligger fast. I lederetningen går elektronene fra halvlederen over toppen og inn i metallet, og i sperreretningen går bare den lille strømmen fra metallet. Med $\Phi_m < \Phi_s$ bøyer båndene seg ned, elektronene samles ved grenseflaten, og strømmen følger spenningen begge veier. Ved store strømmer faller en del av spenningen over halvlederen, og båndene heller der. Den termiske spenningen er gjort større i tegningen, så kneet synes.

Ohmske kontakter

En komponent trenger også kontakter som ikke likeretter. En ohmsk kontakt har en lineær strøm–spenning-karakteristikk i begge retninger og liten motstand. Overflaten på en integrert krets har mange p- og n-områder som skal kobles sammen, og alle de kontaktene må være ohmske.

En ideell metall–halvleder-overgang er ohmsk når ladningen som gjør Fermi-nivåene like, er majoritetsbærere. Med $\Phi_m < \Phi_s$ på n-type går elektroner fra metallet inn i halvlederen. Båndene bøyer seg ned mot grenseflaten, elektronene samles der, og det blir ingen romladningssone. Barrieren mellom metallet og halvlederen er liten, og en liten spenning får elektronene over i begge retninger. På p-type gjelder det samme med $\Phi_m > \Phi_s$ , og da er det hullene som samles.

Når en ideell metall–halvleder-overgang likeretter og når den er ohmsk. Den likeretter når halvlederen tømmes for majoritetsbærere nær grenseflaten.
	n-type	p-type
Schottky	$\Phi_m > \Phi_s$	$\Phi_m < \Phi_s$
Ohmsk	$\Phi_m < \Phi_s$	$\Phi_m > \Phi_s$

I praksis lages ohmske kontakter ved å dope halvlederen sterkt under metallet. Er det en barriere ved grenseflaten, blir sonen så tynn at bærerne tunnelerer gjennom den. Au med litt Sb kan legeres inn i n-type Si og gir et n⁺-lag i overflaten og en god ohmsk kontakt. På p-type trengs et p⁺-lag. For Al på p-type Si er metallet selv akseptoren, så laget dannes under en kort varmebehandling etter at Al er lagt på.

Virkelige Schottky-barrierer

En pn-overgang ligger inne i én krystall, men i en Schottky-kontakt slutter krystallen. Overflaten har tilstander fra ufullstendige bindinger som kan holde ladning, og overgangen mellom halvleder og metall er sjelden skarp. Si har et oksidlag på 10–20 Å selv rett etter etsing, så metallet legges på et tynt glassaktig mellomlag. Elektronene tunnelerer gjennom laget, men det endrer barrieren. Barrierehøydene blir derfor sjelden de ideelle verdiene fra arbeidsfunksjonene, og komponenter bygges på målte verdier.

I sammensatte halvledere gir grenseflatetilstander så mange nivåer i gapet at de låser Fermi-nivået ved grenseflaten på et fast sted, uansett hvilket metall som brukes. På n-type GaAs ligger nivåene 0,7–0,9 eV under $E_c$ , så barrieren blir omtrent 0,8 eV nesten uansett metall. På n-type InAs er Fermi-nivået låst over $E_c$ , og nesten et hvilket som helst metall gir en ohmsk kontakt. På Si gir Au og Pt gode Schottky-barrierer. Pt som varmebehandles, danner et lag av platinasilisid med en pålitelig barriere, $\Phi_B \approx 0{,}85$ V på n-type Si.

Heterooverganger

En pn-overgang i én halvleder er en homoovergang. En heteroovergang er en overgang mellom to halvledere med ulikt båndgap og samme gitterkonstant. Når gitrene passer sammen, kan grenseflaten bli nesten fri for defekter, og en krystall kan vokses med mange slike overganger etter hverandre. Slike lag vokses mest i sammensatte halvledere, som GaAs og AlGaAs.

Når to halvledere med ulikt båndgap, arbeidsfunksjon og elektronaffinitet møtes, gjør båndkantene et sprang ved grenseflaten. Spranget $\Delta E_c$ i ledningsbåndet og spranget $\Delta E_v$ i valensbåndet deler forskjellen i båndgap mellom seg. Med 1 for materialet med størst gap er

\begin{aligned} \Delta E_g &= E_{g1} - E_{g2} = \Delta E_c + \Delta E_v \\ \Delta E_c &= q(\chi_2 - \chi_1) \end{aligned}

Den andre linjen er Andersons affinitetsregel, som gjelder når vakuumnivået er kontinuerlig over grenseflaten. I praksis måles sprangene for hvert par av materialer. For GaAs og AlGaAs havner omtrent to tredjedeler av forskjellen i det direkte båndgapet i ledningsbåndet og en tredjedel i valensbåndet.

Kontaktpotensialet $V_0$ deles mellom de to sidene slik at Fermi-nivåene blir like. Delene finnes fra Poissons ligning med to permittiviteter, der den elektriske flukstettheten er kontinuerlig ved grenseflaten, $\varepsilon_1\mathcal{E}_1 = \varepsilon_2\mathcal{E}_2$ . Med p-type på side 1 og n-type på side 2 gir det

\frac{V_{01}}{V_{02}} = \frac{\varepsilon_2N_{d2}}{\varepsilon_1N_{a1}}

så den lettest dopede siden tar mest av spenningen, som i en homoovergang. Sprangene gjør at barrieren for elektroner fra n-siden ikke lenger er den samme som barrieren for hull fra p-siden. Forskjellen kan brukes til å styre forholdet mellom elektroner og hull som injiseres.

Vakuumnivået i et båndskjema er det lokale vakuumnivået, energien et elektron har like utenfor halvlederen på det stedet. Det følger ledningsbåndkanten, slik at elektronaffiniteten er den samme overalt i materialet selv om båndene bøyer seg. Over overgangen endrer det seg med $qV_0$ , mens det globale vakuumnivået langt unna er konstant.

Skisse av båndskjemaet

Den nøyaktige båndbøyningen krever Poissons ligning, men med kjente sprang kan du skissere båndskjemaet:

Fermi-nivået og båndene langt unna

Tegn et flatt Fermi-nivå. Legg båndene i hvert materiale langt fra overgangen der dopingen setter dem, og la det være plass til sonen i midten.
Sprangene ved $x = 0$

Legg skillet $x = 0$ nær den sterkest dopede siden, og sett av $\Delta E_c$ og $\Delta E_v$ der, med riktig båndgap på hver side.
Bind båndene sammen

Trekk ledningsbåndet og valensbåndet fra sprangene ut til de flate delene, med samme båndgap hele veien i hvert materiale.

Regneeksempel AlGaAs mot GaAs

$\text{Al}_{0{,}3}\text{Ga}_{0{,}7}\text{As}$ har et direkte båndgap på 1,85 eV, og GaAs har 1,43 eV. Finn sprangene med fordelingen over, og skisser båndskjemaet for N⁺-AlGaAs mot n-type GaAs og for N⁺-AlGaAs mot p⁺-GaAs. Stor N eller P står for materialet med størst båndgap.

Vis løsning Skjul løsning

Forskjellen i båndgap er $\Delta E_g = 1{,}85 - 1{,}43 = 0{,}42$ eV, og den deles med to tredjedeler i ledningsbåndet og en tredjedel i valensbåndet:

\begin{aligned} \Delta E_c &= \tfrac{2}{3} \cdot 0{,}42 = 0{,}28\ \text{eV} \\ \Delta E_v &= \tfrac{1}{3} \cdot 0{,}42 = 0{,}14\ \text{eV} \end{aligned}

N⁺-AlGaAs mot n-GaAs: Fermi-nivået ligger høyest i AlGaAs, så elektroner går over i GaAs. AlGaAs tømmes nær $x = 0$ , og båndene der bøyer seg opp mot grenseflaten. I GaAs samles elektronene, og båndene bøyer seg ned. Ved $x = 0$ faller $E_c$ med 0,28 eV, så ledningsbåndet får en spiss på AlGaAs-siden og en brønn rett ved siden av på GaAs-siden. $E_v$ stiger 0,14 eV ved $x = 0$ .
N⁺-AlGaAs mot p⁺-GaAs: Dette er en pn-overgang med sterk doping på begge sider, så sonen ligger omtrent like mye på hver side. Båndene stiger fra AlGaAs til GaAs, og ved $x = 0$ faller $E_c$ med 0,28 eV og $E_v$ stiger med 0,14 eV.

Svar

$\Delta E_c = 0{,}28$ eV og $\Delta E_v = 0{,}14$ eV. Simuleringen under tegner begge båndskjemaene.

Båndene i en heteroovergang

N⁺-AlGaAs til venstre og GaAs til høyre, først hver for seg med vakuumnivåene like og så i kontakt. Elektroner går fra materialet med høyest Fermi-nivå til det andre til Fermi-nivåene er like, og båndene bøyer seg. Sprangene $\Delta E_c$ og $\Delta E_v$ ved grenseflaten er de samme hele tiden. Mot lett dopet GaAs havner elektronene i en smal brønn i ledningsbåndet. Vakuumnivået ligger egentlig mye høyere enn tegnet.

Elektroner i brønnen ved grenseflaten

Legg sterkt dopet N⁺-AlGaAs på lett dopet GaAs. Spranget i ledningsbåndet lar elektroner fra AlGaAs gå over i GaAs, og der blir de fanget i brønnen ved grenseflaten. De samles på GaAs-siden og løfter Fermi-nivået over ledningsbåndkanten nær grenseflaten. Brønnen er smal, og elektronene beveger seg fritt bare langs grenseflaten, så de danner en todimensjonal elektrongass. Er brønnen smal nok, får bevegelsen på tvers diskrete nivåer $E_1, E_2, \dots$ , som i en kvantebrønn.

Elektronene i brønnen kommer fra donorene i AlGaAs, mens GaAs-laget er lett dopet. Det er derfor nesten ingen ioniserte urenheter å spre mot i brønnen, og mobiliteten er satt av gitterspredning. Ved lave temperaturer er gitterspredningen liten, og mobiliteten kan bli svært høy. Det utnyttes i transistorer der strømmen går langs grenseflaten.

Sjekk deg selv

Et metall med

q\Phi_m = 4{,}3\ \text{eV}

legges på p-type Si med

q\chi = 4{,}05\ \text{eV}

E_g = 1{,}11\ \text{eV}

. Dopingen gir

E_F - E_v = 0{,}12\ \text{eV}

. Hva slags kontakt blir det?

Hovedpunkter

Ved kontakt flyttes elektroner til Fermi-nivåene er like. På n-type gir $\Phi_m > \Phi_s$ en romladningssone og en Schottky-kontakt med $V_0 = \Phi_m - \Phi_s$ og $\Phi_B = \Phi_m - \chi$ . På p-type kreves $\Phi_m < \Phi_s$ .
Spenningen endrer barrieren $q(V_0 - V)$ fra halvledersiden, men ikke $q\Phi_B$ fra metallet. Derfor er $I = I_0(e^{qV/k_BT} - 1)$ med $I_0 \propto e^{-q\Phi_B/k_BT}$ .
Strømmen i en Schottky-diode er majoritetsbærere. Det lagres ingen minoritetsladning, og dioden slår raskere om enn en pn-diode.
En kontakt er ohmsk når majoritetsbærerne samles ved grenseflaten. I praksis lages den med et sterkt dopet lag som bærerne tunnelerer gjennom. Grenseflatetilstander låser ofte Fermi-nivået, så barrierehøyder måles.
I en heteroovergang gjør båndkantene sprangene $\Delta E_c$ og $\Delta E_v$ , som til sammen er $\Delta E_g$ , og de ligger fast ved $x = 0$ mens båndene bøyer seg. Elektroner som går over i en brønn i GaAs ved N⁺-AlGaAs, danner en todimensjonal elektrongass med høy mobilitet.