Overskuddsbærere og diffusjon

Overskuddsbærere

Nesten alle komponenter virker ved at det finnes flere bærere enn likevekten gir. Lys med $h\nu \ge E_g$ absorberes og lager par, med intensiteten fallende som $e^{-\alpha x}$ innover i materialet. Bærere kan også sprøytes inn over en kontakt. Uansett kilde skriver vi $n = n_0 + \delta n$ og $p = p_0 + \delta p$ , og siden parene lages og forsvinner parvis, er $\delta n = \delta p$ .

I mørket balanserer generasjonen $g(T) = a_r n_i^2$ rekombinasjonen $a_r n_0 p_0$ . Med overskudd rekombinerer det raskere enn det genereres:

\begin{aligned} \frac{d\,\delta n}{dt} &= a_r n_i^2 - a_r(n_0 + \delta n)(p_0 + \delta p) \\ &= -a_r\left[(n_0 + p_0)\,\delta n + \delta n^2\right] \end{aligned}

Ved lav injeksjon er $\delta n$ liten mot majoritetskonsentrasjonen, så $\delta n^2$ kan strykes, og i p-type materiale er $n_0$ ubetydelig ved siden av $p_0$ . Det som står igjen, er en lineær ligning med eksponentiell løsning:

\delta n(t) = \Delta n\, e^{-a_r p_0 t} = \Delta n\, e^{-t/\tau_n}

med $\tau_n = 1/a_r p_0$ .

$\tau_n$ er levetiden til minoritetsbærerne; den generelle formen $1/a_r(n_0 + p_0)$ står i Formelsamlingen. Majoriteten faller med samme rate, siden bærerne forsvinner parvis, men for den er $\delta p$ en liten korreksjon på $p_0$ .

I Si og Ge er direkte rekombinasjon sjelden. Nesten all rekombinasjon går via rekombinasjonssentre, urenheter og defekter med et nivå $E_r$ inne i gapet. Et senter under $E_F$ er fylt, og fanger først et hull og deretter et elektron; energien går til gitteret som varme i to steg. Slipper senteret den første bæreren tilbake til båndet før den andre kommer, er det en felle. Nivåer nær midten av gapet, som gull i Si med 0,54 eV, holder på det de fanger, så de er effektive rekombinasjonssentre. Levetiden i Si settes derfor av renheten.

Kvasi-Fermi-nivåer

Med jevnt lys på prøven legges den optiske generasjonen $g_\text{op}$ til den termiske, og konsentrasjonene stiller seg inn der rekombinasjonen tar unna begge. Ved lav injeksjon gir samme regning som over at overskuddet er generasjonsraten ganger levetiden, $\delta n = \delta p = g_\text{op}\tau_n$ . Nå er $np \ne n_i^2$ , og $E_F$ har ingen mening. Vi beholder formen på likevektsuttrykkene ved å gi hver bærertype sitt eget nivå:

n = n_i\, e^{(F_n - E_i)/k_BT}, \qquad p = n_i\, e^{(E_i - F_p)/k_BT}

$F_n$ og $F_p$ er kvasi-Fermi-nivåene. I likevekt faller de sammen med $E_F$ , og avstanden $F_n - F_p$ måler hvor langt materialet er fra likevekt. Et gitt overskudd flytter minoritetsnivået langt og majoritetsnivået nesten ikke, siden overskuddet er mange tierpotenser for minoriteten og en brøkdel for majoriteten.

Regneeksempel hvor havner kvasi-Fermi-nivåene i belyst Si?

En Si-prøve med $n_0 = 10^{14}$ cm⁻³ og $\tau_n = \tau_p = 2$ µs belyses så det lages $10^{19}$ par per cm³ og sekund. Finn $n$ , $p$ og de to nivåene ved 300 K.

Vis løsning Skjul løsning

Overskuddet: $\delta n = \delta p = g_\text{op}\tau_n$ , altså $10^{19} \cdot 2 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{13}$ cm⁻³.
Majoriteten: $n = 1{,}2 \times 10^{14}$ cm⁻³, 20 % over $n_0$ .
Minoriteten: $p_0 = n_i^2/n_0 = 2{,}25 \times 10^{6}$ cm⁻³ i mørket, mot $p = 2 \times 10^{13}$ cm⁻³ i lyset.
$F_n - E_i = k_BT\ln(n/n_i)$ , altså $0{,}0259 \cdot \ln(8 \times 10^{3}) = 0{,}233$ eV.
$E_i - F_p = k_BT\ln(p/n_i)$ , altså $0{,}0259 \cdot \ln(1{,}3 \times 10^{3}) = 0{,}186$ eV.

Svar

F_n

ligger

0{,}233

eV over

E_i

, bare 5 meV over likevektsnivået

E_F

på

0{,}228

eV.

F_p

ligger

0{,}186

eV under

E_i

, mens

E_F

lå over. Hullene har økt sju tierpotenser, elektronene 20 %, og

F_n - F_p = 0{,}42

eV.

Kvasi-Fermi-nivåene i belyst n-type Si

Velg doping og lysstyrke. Til venstre står båndskjemaet med $E_F$ i mørket og $F_n$ og $F_p$ i lyset, og klammen er splittingen $F_n - F_p$ . Til høyre står $n$ og $p$ som stolper på logaritmisk skala, med likevektsverdiene $n_0$ og $p_0$ merket. Majoritetsnivået rører seg knapt, minoritetsnivået flytter seg mange $k_BT$ .

Diffusjon

Der konsentrasjonen varierer, gir den tilfeldige bevegelsen alene en netto strøm av bærere fra høy til lav konsentrasjon. Del $x$ -aksen i biter på én midlere fri veilengde $l$ . Av bærerne i biten til venstre for $x_0$ krysser halvparten mot høyre i løpet av $\tau$ , og av bærerne til høyre krysser halvparten mot venstre. Nettofluksen er $\tfrac{l}{2\tau}(n_1 - n_2)$ , og med $n_1 - n_2 = -l\,dn/dx$ :

\phi_n = -D_n\frac{dn}{dx}, \qquad D_n = \frac{l^2}{2\tau}

$D_n$ er diffusjonskoeffisienten, med enhet cm²/s. Hull diffunderer på samme måte med $D_p$ . Elektroner og hull i samme gradient beveger seg samme vei, men ladningene har motsatt fortegn, så diffusjonsstrømmene går hver sin vei:

J_n^\text{diff} = +qD_n\frac{dn}{dx}, \qquad J_p^\text{diff} = -qD_p\frac{dp}{dx}

Med felt og gradient samtidig har hver strøm et driftledd og et diffusjonsledd:

\begin{aligned} J_n &= q\mu_n n\,\mathcal{E} + qD_n\frac{dn}{dx} \\ J_p &= q\mu_p p\,\mathcal{E} - qD_p\frac{dp}{dx} \end{aligned}

Driftleddet er proporsjonalt med konsentrasjonen, så minoritetsbærerne bidrar lite til drift. Diffusjonsleddet er proporsjonalt med gradienten, og den kan være stor selv om konsentrasjonen er liten. Minoritetsstrømmen i en komponent er derfor nesten alltid diffusjon.

Et felt vises i båndskjemaet som skrå bånd. Elektronets potensielle energi øker langs feltet, så $E_c$ , $E_v$ og $E_i$ stiger i feltretningen, og stigningen er feltet: $\mathcal{E}(x) = \dfrac{1}{q}\dfrac{dE_i}{dx}$ . Elektroner driver nedover i skjemaet, hull oppover, og $\mathcal{E}$ peker oppoverbakke.

Einstein-relasjonen

I likevekt er strømmen null, og likevel kan konsentrasjonen variere med $x$ , for eksempel i en krystall med dopinggradient. Da må diffusjonen balanseres av drift i et innebygd felt, og kravet knytter $D$ til $\mu$ .

Hvorfor D og μ ikke er uavhengige

Sett $J_p = 0$ : $\mu_p p\,\mathcal{E} = D_p\,dp/dx$ . Skriv $p$ med $E_i$ -formen, $p = n_i e^{(E_i - E_F)/k_BT}$ , og deriver:

\frac{dp}{dx} = \frac{p}{k_BT}\left(\frac{dE_i}{dx} - \frac{dE_F}{dx}\right) = \frac{p}{k_BT}\,q\mathcal{E}

Her er $dE_F/dx = 0$ fordi Fermi-nivået er flatt i likevekt, og $dE_i/dx = q\mathcal{E}$ fra båndskjemaet. Sett inn, og $p\,\mathcal{E}$ forkortes:

\frac{D_p}{\mu_p} = \frac{k_BT}{q}

Samme regning for elektroner gir samme forhold.

Einstein-relasjonen sier at $D/\mu = k_BT/q = 0{,}0259$ V ved romtemperatur, uansett bærertype og materiale. For Si gir det $D_n = 35$ og $D_p = 12{,}5$ cm²/s, og måler du den ene, har du den andre.

Kontinuitetsligningen

Ta en skive med tykkelse $\Delta x$ og areal $A$ . Hullkonsentrasjonen i den øker når det strømmer inn flere hull enn det strømmer ut, og minker ved rekombinasjon. Strømtetthet delt på $q$ er partikkelfluks, så i grensen $\Delta x \to 0$ :

\frac{\partial\,\delta p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\frac{\partial J_p}{\partial x} - \frac{\delta p}{\tau_p}

For elektroner bytter det første leddet fortegn, siden ladningen er negativ. Det er kontinuitetsligningen: det som strømmer inn og ikke ut igjen, er enten lagret eller rekombinert.

Er strømmen ren diffusjon, setter vi inn $J_n^\text{diff}$ og får diffusjonsligningen:

\frac{\partial\,\delta n}{\partial t} = D_n\frac{\partial^2\,\delta n}{\partial x^2} - \frac{\delta n}{\tau_n}

Krumningen i profilen jevner den ut, og levetiden tømmer den. En puls av overskuddsbærere brer seg derfor utover og forsvinner samtidig, og hvor langt den rekker, avgjøres av $D$ og $\tau$ sammen.

Stasjonær injeksjon og diffusjonslengde

I mange komponenter holdes overskuddet konstant i tid, for eksempel av en kontakt som sprøyter hull inn i enden av en n-type stav. Da er tidsleddet i diffusjonsligningen null, og det som står igjen er

\frac{d^2\,\delta p}{dx^2} = \frac{\delta p}{D_p\tau_p} = \frac{\delta p}{L_p^2}

med diffusjonslengden $L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$ . Løsningen er en sum av $e^{x/L_p}$ og $e^{-x/L_p}$ . I en lang stav må overskuddet dø ut langt fra kontakten, så den voksende delen faller bort, og med $\delta p(0) = \Delta p$ ved kontakten står det igjen

\delta p(x) = \Delta p\, e^{-x/L_p}

$L_p$ er avstanden der overskuddet har falt til $1/e$ , og også gjennomsnittsavstanden et hull diffunderer før det rekombinerer. For Si med $D_p = 12{,}5$ cm²/s og $\tau_p = 1$ µs er $L_p = 35$ µm, altså mange ganger bredden av romladningssonen i en pn-overgang.

Hvorfor diffusjonslengden er gjennomsnittsavstanden

Sannsynligheten for at et hull injisert ved $x = 0$ når fram til $x$ uten å rekombinere, er $\delta p(x)/\Delta p = e^{-x/L_p}$ . Sannsynligheten for at det så rekombinerer i det neste intervallet $dx$ er andelen av profilen som forsvinner der:

\begin{aligned} \frac{\delta p(x) - \delta p(x + dx)}{\delta p(x)} &= -\frac{1}{\delta p}\frac{d\,\delta p}{dx}\,dx \\ &= \frac{dx}{L_p} \end{aligned}

Produktet $e^{-x/L_p}\,dx/L_p$ er sannsynlighetsfordelingen for hvor hullet rekombinerer, og middelverdien er

\langle x\rangle = \int_0^\infty x\,\frac{e^{-x/L_p}}{L_p}\,dx = L_p

Diffusjonsstrømmen følger rett fra profilen, siden $p_0$ er konstant og bare overskuddet har gradient:

J_p(x) = -qD_p\frac{d\,\delta p}{dx} = q\frac{D_p}{L_p}\,\delta p(x)

Strømmen i hvert punkt er proporsjonal med overskuddet der, og ved kontakten er den $qD_p\Delta p/L_p$ . Ladningen som er lagret i staven, er arealet under profilen, $Q_p = qA\,\Delta p\,L_p$ . Begge uttrykkene kommer igjen i pn-overgangen, der spenningen sprøyter minoritetsbærere inn på hver side.

Regneeksempel hvor langt kommer de injiserte hullene?

Hull sprøytes inn i enden av en lang n-type Si-stav med $N_d = 10^{16}$ cm⁻³, slik at $\delta p(0) = \Delta p = 10^{14}$ cm⁻³ holdes konstant. Bruk $D_p = 12{,}5$ cm²/s og $\tau_p = 1$ µs. Finn diffusjonslengden, overskuddet 50 µm inne i staven, og strømtettheten ved kontakten.

Vis løsning Skjul løsning

Lav injeksjon: $\Delta p = 10^{14} \ll n_0 = 10^{16}$ cm⁻³, så uttrykkene over gjelder.
Diffusjonslengden:

\begin{aligned} L_p &= \sqrt{D_p\tau_p} = \sqrt{12{,}5 \cdot 10^{-6}}\ \text{cm} \\ &= 3{,}54 \times 10^{-3}\ \text{cm} = 35\ \mu\text{m} \end{aligned}

Overskuddet ved 50 µm:

\delta p = 10^{14}\, e^{-50/35} = 2{,}4 \times 10^{13}\ \text{cm}^{-3}

Strømtettheten ved kontakten:

\begin{aligned} \frac{D_p}{L_p} &= \frac{12{,}5}{3{,}54 \times 10^{-3}}\ \frac{\text{cm}}{\text{s}} \\ &= 3{,}5 \times 10^{3}\ \text{cm/s} \\ q\frac{D_p}{L_p} &= 1{,}6 \times 10^{-19} \cdot 3{,}5 \times 10^{3} \\ &= 5{,}6 \times 10^{-16}\ \text{C\,cm/s} \\ J_p(0) &= q\frac{D_p}{L_p}\,\Delta p \\ &= 5{,}6 \times 10^{-16} \cdot 10^{14} \\ &= 5{,}6 \times 10^{-2}\ \text{A/cm}^2 \end{aligned}

Svar

$L_p = 35$ µm, $\delta p(50\ \mu\text{m}) = 2{,}4 \times 10^{13}$ cm⁻³ og $J_p(0) = 56$ mA/cm².

Haynes–Shockley-eksperimentet

Drift og diffusjon av minoritetsbærere kan måles direkte. En lysblink lager en puls av hull ved $x = 0$ i en n-type stav med et felt $\mathcal{E}$ langs staven. Pulsen driver med feltet, brer seg ut ved diffusjon og passerer en detektor ved $x = L$ etter drifttiden $t_d$ . Drifttiden gir mobiliteten:

v_d = \frac{L}{t_d}, \qquad \mu_p = \frac{v_d}{\mathcal{E}}

Hall-målingen gir mobiliteten til majoriteten; dette er måten å måle minoritetens på.

Bredden på pulsen gir $D_p$ . Uten felt og uten rekombinasjon løses diffusjonsligningen av en gaussisk puls,

\delta p(x,t) = \frac{\Delta P}{2\sqrt{\pi D_p t}}\, e^{-x^2/4D_p t}

der $\Delta P$ er antall hull per areal i pulsen ved $t = 0$ . Toppen synker og bredden vokser med tiden. Ved $t_d$ er pulsen falt til $1/e$ av toppen i $x = \pm\Delta x/2$ , og det gir

D_p = \frac{(\Delta x)^2}{16\,t_d}

Oscilloskopet viser pulsen i tid, så bredden $\Delta t$ regnes om med driftfarten: $\Delta x = v_d\,\Delta t$ . Feltet flytter hele pulsen med $v_d t$ uten å endre formen, og rekombinasjonen krymper den med faktoren $e^{-t/\tau_p}$ .

Hullpulsen fra lysblinket til detektoren

Dra i feltet, avstanden og levetiden. Øverst er staven. De blå prikkene er elektronene i n-type Si, de røde er pulsen av hull som lysblinket lager ved $x = 0$ . Pulsen drifter mot høyre med $v_d = \mu_p\mathcal{E}$ . Den brer seg ut ved diffusjon, og klammen $\Delta x$ spenner $1/e$ -bredden. Underveis tynnes den ut med $e^{-t/\tau_p}$ , så prikkene blir færre før den når kontakten i den andre enden. Nederst sveiper oscilloskopet mens pulsen drifter, så kurven stiger i det pulsen når detektoren ved $x = L$ . Drifttiden $t_d$ gir $\mu_p = L/t_d\mathcal{E}$ , og bredden $\Delta t$ mellom $1/e$ -punktene gir $D_p = (v_d\,\Delta t)^2/16t_d$ . Tidsaksen og den loddrette skalaen står fast. Et sterkere felt flytter pulsen mot venstre på tidsaksen og gjør den smalere. Lengre avstand flytter den mot høyre og gjør den bredere. Kortere levetid senker toppen uten å flytte den eller bre den ut. Tettheten av prikker er ikke i skala med noen konsentrasjon.

Sjekk deg selv

Både

n

p

faller mot høyre, og det er ikke noe felt. Hvilken retning har partikkelstrømmene og de elektriske strømmene?

Hovedpunkter

Overskuddsbærere rekombinerer med levetiden $\tau_n = 1/a_r p_0$ ved lav injeksjon, i Si via dype nivåer i gapet. Jevnt lys gir $\delta n = g_\text{op}\tau_n$ .
Utenfor likevekt er $np \ne n_i^2$ , og $n = n_i e^{(F_n - E_i)/k_BT}$ , $p = n_i e^{(E_i - F_p)/k_BT}$ . $F_n - F_p$ måler avstanden fra likevekt, og minoritetsnivået flytter seg mest.
$J_n = q\mu_n n\mathcal{E} + qD_n\,dn/dx$ og $J_p = q\mu_p p\mathcal{E} - qD_p\,dp/dx$ ; minoritetsstrøm er diffusjon, og $D/\mu = k_BT/q = 0{,}0259$ V.
Kontinuitetsligningen: inn minus ut er lagret eller rekombinert. Med ren diffusjon blir den diffusjonsligningen.
Stasjonær injeksjon gir $\delta p(x) = \Delta p\,e^{-x/L_p}$ med $L_p = \sqrt{D_p\tau_p}$ , strømmen $J_p = qD_p\,\delta p/L_p$ og ladningen $Q_p = qA\,\Delta p\,L_p$ . Haynes–Shockley gir $\mu_p$ fra drifttiden og $D_p$ fra pulsbredden.